ও (যোগফল) স্পেসে সাবসেট সমষ্টি সমস্যা


কাঠিন্য মাত্রা মধ্যম
প্রায়শই জিজ্ঞাসা করা হয় রৌদ্রপক্ব ইষ্টক মর্দানী স্ত্রীলোক দৃষ্টি-নরম
বিন্যাস ডায়নামিক প্রোগ্রামিং

সমস্যা বিবৃতি

"ও (যোগফল) স্পেসে উপসেট যোগফল" বলেছে যে আপনাকে কিছু অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা এবং একটি নির্দিষ্ট মান দেওয়া হবে। এখন সন্ধান করুন যে কোনও উপসেট রয়েছে যার যোগফল প্রদত্ত ইনপুট মানের সমান।

উদাহরণ

Array = {1, 2, 3, 4}
targetSum = 7
The subset having sum equal to given input is possible

ও (যোগফল) স্পেসে সাবসেট সমষ্টি সমস্যা

ও (যোগফল) স্পেসে সাবসেট সমষ্টি সমস্যার জন্য দৃষ্টিভঙ্গি

সবচেয়ে সহজ পদ্ধতির যার বিষয়ে যে কেউ ভাবতে পারে তা হ'ল সমস্ত সাবসেট তৈরি করা এবং তাদের যোগফল নেওয়া। এখন পরীক্ষা করুন যে এই যোগফল প্রদত্ত ইনপুট যোগফলের সমান, তাই না? পদ্ধতির সঠিক। এ নিয়ে কোনও সন্দেহ নেই। তবে একটি সমস্যা আছে, আমরা দক্ষতার সাথে সমস্ত সাবসেট তৈরি করতে পারি না। সাবসেট তৈরির ক্ষেত্রে নিজেই (2 ^ N) সময়ের জটিলতা রয়েছে। সুতরাং, সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের আরও কিছু কার্যকর উপায়ের কথা ভাবতে হবে।

ঠিক আছে, সুতরাং এই সমস্যাটি এইভাবে চিন্তা করা যাক। আমরা জানি যে এখানে কিছু সাবসেট রয়েছে যার কিছু বীজ রয়েছে। বর্তমান উপাদানটির জন্য, আমাদের কাছে দুটি বিকল্প রয়েছে আমরা হয় এটি ইতিমধ্যে উপস্থিত সাবসেটগুলিতে যুক্ত করব বা আমরা এটি সাবসেটগুলিতে বিজ্ঞাপন দিই না। সুতরাং, এখন আমরা জানি আমাদের কী করা উচিত। এর সংক্ষিপ্তসার হিসাবে, আমরা অঙ্কগুলির উপরে একটি লুপ চালাব (এটি 1 থেকে ইনপুট যোগফলের মানগুলিতে থাকে)। যেহেতু এটি কিছুটা বিভ্রান্ত হচ্ছে। আমরা ইনপুট যোগটিকে "টার্গেট" এবং যে পরিমাণগুলিকে অনুসরণ করতে হয় তাকে কল করি। আমরা তাদের "আমি" দিয়ে উপস্থাপন করব। এবং প্রতিটি আইয়ের জন্য, আমরা বর্তমান উপাদানটি গ্রহণ না করি কিনা তা পরীক্ষা করে দেখি, "আমাদের সমান পরিমাণের সমষ্টি রয়েছে কি?"। অথবা আমরা যদি এই বর্তমান উপাদানটি গ্রহণ করি তবে আমরা কি মোট সমষ্টিটি i এর সমান করতে পারি? সুতরাং আমরা এই শেষ বিবৃতি পুনরায় প্রকাশ করতে পারেন। যদি আমরা বর্তমান উপাদানটির মান i থেকে বিয়োগ করি তবে আমাদের কি উপ-সেটটি আই-কারেন্ট উপাদানটির সমান হবে?

সুতরাং, এখন আমাদের সন্ধান করা দরকার যে আমরা সমান i বা সমমানের সমতুল্য একটি উপসেট গঠন করতে পারি কিনা।

এখন কীভাবে সমাধান করবেন? আমরা ব্যবহার করবো ডায়নামিক প্রোগ্রামিং সমস্যাটি সমাধান করতে. আমরা একটি 2 ডি অ্যারে বা একটি ম্যাট্রিক তৈরি করব যার [i, j] সেলটি সত্য যদি আমরা 0 থেকে i পর্যন্ত উপাদানগুলি ব্যবহার করে জ এর সমান যোগফল পেতে পারি। অন্যথায়, এটি মিথ্যা।

পুনরাবৃত্তির সূত্র

dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-input[i]]

পুনরাবৃত্তির সূত্র থেকে আমরা জানতে পারি যে বর্তমান সারিটি কেবলমাত্র শেষ সারিটির উপর নির্ভরশীল। সুতরাং আমরা এন উপাদানগুলির জন্য এন সারিগুলির পরিবর্তে কেবল দুটি সারি রেখে দূরে যেতে পারি। একটি সারি শেষ উপাদানটির জন্য একটি সারি এবং অন্যটি বর্তমান উপাদানটির জন্য কাজ করবে। এটি একটি সুপরিচিত ডিপি অপ্টিমাইজেশন।

কোড

ও (যোগফল) স্পেসে সাবসেট সমষ্টি সমস্যার জন্য সি ++ কোড

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool findSubset(int arr[], int n, int targetSum)
{
  // dp array to store if any sum is possible
  bool dp[2][targetSum + 1];

  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= targetSum; j++) {

      // subset with sum equal to zero is always possible
      // we don't choose any element
      if (j == 0)
        dp[i % 2][j] = true;
      // j != 0 and i ==0
      else if (i == 0)
        dp[i % 2][j] = false;
      // current element is greater than the current value of sum(j)
      // so take OR of two conditions
      // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
      // 2. We don't take the current element
      else if (arr[i - 1] <= j)
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j];
      // Here we cannot take the current element
      // So simply check is such a subset is possible
      else
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j];
    }
  }

  return dp[n % 2][targetSum];
}

int main(){
  // Number of elements
  int n;cin>>n;
  // array to store non-negative numbers
  int a[n];
  for(int i=0;i<n;i++)
    cin>>a[i];
  int targetSum;
  cin>>targetSum;
  bool can = findSubset(a, n, targetSum);
  if(can == true)
    cout<<"The subset having sum equal to given input is possible";
  else
    cout<<"None of the subsets have sum equal to given input";
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

ও (যোগফল) স্পেসে সাবসেট সমষ্টি সমস্যার জন্য জাভা কোড

import java.util.*;

class Main{
  
  static boolean findSubset(int arr[], int n, int targetSum) 
  { 
    // dp array to store if any sum is possible
    boolean dp[][] = new boolean[2][targetSum + 1];

    for (int i = 0; i <= n; i++) { 
      for (int j = 0; j <= targetSum; j++) { 

        // subset with sum equal to zero is always possibe
        // we don't choose any element
        if (j == 0) 
          dp[i % 2][j] = true; 
        // j != 0 and i ==0
        else if (i == 0) 
          dp[i % 2][j] = false;
        // current element is greater than the current value of sum(j)
        // so take OR of two conditions
        // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
        // 2. We don't take the current element
        else if (arr[i - 1] <= j) 
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j]; 
        // Here we cannot take the current element
        // So simply check is such a subset is possible
        else
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j]; 
      } 
    }

    return dp[n % 2][targetSum]; 
  }
  
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    // Number of elements
    int n = sc.nextInt();
    // array to store non-negative numbers
    int a[] = new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
      a[i] = sc.nextInt();
    int targetSum = sc.nextInt();
    boolean can = findSubset(a, n, targetSum);
    if(can == true)
      System.out.println("The subset having sum equal to given input is possible");
    else
      System.out.println("None of the subsets have sum equal to given input");
  }
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

জটিলতা বিশ্লেষণ

সময় জটিলতা

ও (Sum * N), কারণ আমরা সমস্ত উপাদানকে ছাড়িয়ে গিয়েছি এবং প্রতিটি ইনকামের যোগফল থেকে 0 থেকে প্রতিটি মানের জন্য পরীক্ষা করেছি যে এটি সম্ভব কিনা? সুতরাং সময় জটিলতা বহুপদী।

স্পেস জটিলতা ity

ও (সম), কারণ আমরা প্রতিটি উপাদানের জন্য সারি ব্যবহার করি নি। এটি না করে আমরা কেবলমাত্র বর্তমান এবং শেষ উপাদানটির মধ্যবর্তী ফলাফলগুলি সংরক্ষণ করার জন্য দুটি সারি ব্যবহার করেছি। সুতরাং স্থান জটিলতা রৈখিক হয়।