ઓ (સરવાળો) અવકાશમાં સબસેટ સમ સમસ્યા


મુશ્કેલી સ્તર મધ્યમ
વારંવાર પૂછવામાં આવે છે એડોબ એમેઝોન દ્રષ્ટિ-નરમ
અરે ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગ

સમસ્યા નિવેદન

“ઓ (સરવાળો) અવકાશમાં સબસેટ સરવાળો” સમસ્યા જણાવે છે કે તમને કેટલાક બિન-નકારાત્મક પૂર્ણાંકો અને વિશિષ્ટ મૂલ્ય આપવામાં આવે છે. હવે શોધો કે ત્યાં કોઈ સબસેટ છે કે જેની રકમ આપેલ ઇનપુટ મૂલ્યની સમાન છે.

ઉદાહરણ

Array = {1, 2, 3, 4}
targetSum = 7
The subset having sum equal to given input is possible

ઓ (સરવાળો) અવકાશમાં સબસેટ સમ સમસ્યા

ઓ (સરવાળા) જગ્યામાં સબસેટ સમ સમસ્યા માટેનો અભિગમ

સૌથી સરળ અભિગમ કે જે વિશે કોઈપણ વિચારી શકે છે તે છે બધા સબસિટ્સ બનાવવું અને તેનો સરવાળો લેવો. હવે તપાસો કે આ રકમ આપેલ ઇનપુટ સરવાળો સમાન છે કે નહીં? અભિગમ સાચો છે. તે વિશે કોઈ શંકા નથી. પરંતુ એક સમસ્યા છે, અમે બધા સબસેટ્સ અસરકારક રીતે બનાવી શકતા નથી. સબસેટ્સની રચનામાં ઓ (2 ^ N) સમયની જટિલતા હોય છે. તેથી, આપણે સમસ્યા હલ કરવાની કેટલીક અન્ય અસરકારક રીત વિશે વિચારવું જોઈએ.

ઠીક છે, તો ચાલો આ રીતે આ સમસ્યાનો વિચાર કરીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે કેટલાક સબસિટો છે જેમાં કેટલાક રકમ હોય છે. હાલના તત્વ માટે, અમારી પાસે બે વિકલ્પો છે કાં તો આપણે તેને પહેલાથી હાજર ઉપગણોમાં ઉમેરીએ છીએ અથવા આપણે તેને સબસિટમાં જાહેરાત આપતા નથી. તેથી, હવે આપણે જાણીએ છીએ કે આપણે શું કરવાની જરૂર છે. તેનો સારાંશ આપવા માટે, આપણે રકમ ઉપર લૂપ ચલાવીશું (તે 1 થી ઇનપુટ રકમ સુધીના મૂલ્યો પર છે). આ થોડું મૂંઝવણભર્યું બની રહ્યું છે. આપણે ઇનપુટ રકમને "લક્ષ્યાંક 'તરીકે કહીએ છીએ અને તે રકમનો સમાવેશ કરીએ જેના પર પસાર થવું પડે. અમે તેમને "હું" સાથે રજૂ કરીશું. અને દરેક આઇ માટે, અમે તપાસીએ છીએ કે શું હાલનું તત્વ ન લેવાય, "શું આપણી પાસે સમકક્ષ રકમ બરાબર છે?". અથવા જો આપણે આ વર્તમાન તત્વ લઈએ તો આપણે i ની બરાબર રકમ બનાવી શકીએ? તો આપણે આ છેલ્લા નિવેદનને ફરીથી રજૂ કરી શકીએ. જો આપણે વર્તમાન તત્વોનું મૂલ્ય i થી બાદ કરીએ તો શું આપણી પાસે i-વર્તમાન તત્વની સમાન રકમ ધરાવતો સબસેટ છે?

તેથી, હવે આપણે ફક્ત એ શોધવાની જરૂર છે કે આપણે i અથવા વર્તમાન તત્વની બરાબર રકમવાળા સબસેટ બનાવી શકીએ કે કેમ.

હવે તેનો હલ કેવી રીતે કરવો? અમે ઉપયોગ કરીશું ડાયનેમિક પ્રોગ્રામિંગ આ સમસ્યા હલ કરવા માટે. આપણે 2 ડી એરે અથવા મેટ્રિક બનાવીશું જેની [i, j] સેલ સાચી છે જો આપણે 0 થી i ના તત્વોનો ઉપયોગ કરીને j ની સમાન રકમ ધરાવતા સબસેટ મેળવી શકીએ. નહિંતર, તે ખોટું છે.

રિકરિવ ફોર્મ્યુલા

dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-input[i]]

પુનરાવર્તિત સૂત્રમાંથી, આપણે જાણી શકીએ કે વર્તમાન પંક્તિ ફક્ત છેલ્લી પંક્તિ પર આધારિત છે. તેથી અમે n તત્વો માટે n પંક્તિઓને બદલે માત્ર બે પંક્તિઓ રાખીને જ છૂટી શકીએ છીએ. એક પંક્તિ છેલ્લા તત્વ માટે પંક્તિની જેમ કાર્ય કરશે અને બીજી વર્તમાન તત્વ માટે. આ એક જાણીતું ડીપી ઓપ્ટિમાઇઝેશન છે.

કોડ

ઓ (સરવાળા) જગ્યામાં સબસેટ સર સમસ્યા માટે સી ++ કોડ

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool findSubset(int arr[], int n, int targetSum)
{
  // dp array to store if any sum is possible
  bool dp[2][targetSum + 1];

  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= targetSum; j++) {

      // subset with sum equal to zero is always possible
      // we don't choose any element
      if (j == 0)
        dp[i % 2][j] = true;
      // j != 0 and i ==0
      else if (i == 0)
        dp[i % 2][j] = false;
      // current element is greater than the current value of sum(j)
      // so take OR of two conditions
      // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
      // 2. We don't take the current element
      else if (arr[i - 1] <= j)
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j];
      // Here we cannot take the current element
      // So simply check is such a subset is possible
      else
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j];
    }
  }

  return dp[n % 2][targetSum];
}

int main(){
  // Number of elements
  int n;cin>>n;
  // array to store non-negative numbers
  int a[n];
  for(int i=0;i<n;i++)
    cin>>a[i];
  int targetSum;
  cin>>targetSum;
  bool can = findSubset(a, n, targetSum);
  if(can == true)
    cout<<"The subset having sum equal to given input is possible";
  else
    cout<<"None of the subsets have sum equal to given input";
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

ઓ (સરવાળો) જગ્યામાં સબસેટ સમ પ્રોબ્લેમ માટે જાવા કોડ

import java.util.*;

class Main{
  
  static boolean findSubset(int arr[], int n, int targetSum) 
  { 
    // dp array to store if any sum is possible
    boolean dp[][] = new boolean[2][targetSum + 1];

    for (int i = 0; i <= n; i++) { 
      for (int j = 0; j <= targetSum; j++) { 

        // subset with sum equal to zero is always possibe
        // we don't choose any element
        if (j == 0) 
          dp[i % 2][j] = true; 
        // j != 0 and i ==0
        else if (i == 0) 
          dp[i % 2][j] = false;
        // current element is greater than the current value of sum(j)
        // so take OR of two conditions
        // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
        // 2. We don't take the current element
        else if (arr[i - 1] <= j) 
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j]; 
        // Here we cannot take the current element
        // So simply check is such a subset is possible
        else
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j]; 
      } 
    }

    return dp[n % 2][targetSum]; 
  }
  
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    // Number of elements
    int n = sc.nextInt();
    // array to store non-negative numbers
    int a[] = new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
      a[i] = sc.nextInt();
    int targetSum = sc.nextInt();
    boolean can = findSubset(a, n, targetSum);
    if(can == true)
      System.out.println("The subset having sum equal to given input is possible");
    else
      System.out.println("None of the subsets have sum equal to given input");
  }
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

જટિલતા વિશ્લેષણ

સમય જટિલતા

ઓ (સમ * એન), કારણ કે આપણે બધા તત્વોને વટાવી દીધા છે અને 0 થી આપેલ ઇનપુટ રકમ સુધીના દરેક મૂલ્યની તપાસ કરી છે કે તે શક્ય છે કે નહીં? તેથી સમય જટિલતા બહુપદી છે.

અવકાશ જટિલતા

ઓ (સરવાળા), કારણ કે આપણે દરેક તત્વ માટે પંક્તિઓનો ઉપયોગ કર્યો નથી. તે કરવાને બદલે આપણે વર્તમાન અને છેલ્લા તત્વ માટેના મધ્યવર્તી પરિણામો સંગ્રહિત કરવા માટે ફક્ત બે પંક્તિઓનો ઉપયોગ કર્યો છે. આમ જગ્યા જટિલતા રેખીય છે.