सबसेट सम प्रॉब्लम इन ओ (सम) स्पेस


कठिनाई स्तर मध्यम
में अक्सर पूछा एडोब वीरांगना दृष्टि-शीतल
ऐरे गतिशील प्रोग्रामिंग

समस्या का विवरण

"सबसेट योग इन ओ (सम) स्पेस" समस्या बताती है कि आपको कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक और विशिष्ट मूल्य का एक सरणी दिया जाता है। अब पता करें कि क्या कोई उपसमूह है जिसका योग दिए गए इनपुट मान के बराबर है।

उदाहरण

Array = {1, 2, 3, 4}
targetSum = 7
The subset having sum equal to given input is possible

सबसेट सम प्रॉब्लम इन ओ (सम) स्पेस

ओ (राशि) स्थान में सबसेट सम समस्या के लिए दृष्टिकोण

सबसे सरल तरीका जो कोई भी सोच सकता है, वह है कि सभी सबसेट बनाएं और अपनी राशि लें। अब जांचें कि क्या यह राशि दिए गए इनपुट योग के बराबर है, है ना? दृष्टिकोण सही है। इसमें कोई शक नहीं है। लेकिन एक समस्या है, हम सभी सबसेट को कुशलता से नहीं बना सकते हैं। सबसेट के निर्माण में O (2 ^ N) समय की जटिलता है। इसलिए, हमें समस्या को हल करने के लिए कुछ अन्य कुशल तरीके के बारे में सोचना चाहिए।

ठीक है, तो चलो इस तरह से इस समस्या के बारे में सोचते हैं। हम जानते हैं कि कुछ राशि वाले कुछ उपसमूह हैं। वर्तमान तत्व के लिए, हमारे पास दो विकल्प हैं या तो हम इसे पहले से मौजूद सबसेट में जोड़ते हैं या फिर हम इसे सबसेट में एड नहीं करते हैं। तो, अब हम जानते हैं कि हमें क्या करने की आवश्यकता है। इसे संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए, हम रकमों पर एक लूप चलाएंगे (जो कि 1 से इनपुट योग के मान पर है)। चूंकि यह थोड़ा भ्रमित हो रहा है। हम इनपुट राशि को "लक्ष्य" कहते हैं और जिन रकमों को निकालना होता है। हम उनका प्रतिनिधित्व "i" से करेंगे। और प्रत्येक के लिए, हम जांचते हैं कि क्या वर्तमान तत्व नहीं लेते हैं, "क्या हमारे पास एक सबसेट है जो मेरे बराबर है?"। या अगर हम इस वर्तमान तत्व को लेते हैं तो क्या हम कुल योग को i के बराबर बना सकते हैं? इसलिए हम इस अंतिम कथन को फिर से लिख सकते हैं। यदि हम वर्तमान तत्व के मूल्य को i से घटाते हैं, तो क्या हमारे पास i-current तत्व के बराबर राशि वाला उपसमूह है?

इसलिए, अब हमें केवल यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या हम एक उपसमूह बना सकते हैं जो i या समतुल्य तत्व के बराबर है।

अब इसे कैसे हल करें? हम इस्तेमाल करेंगे गतिशील प्रोग्रामिंग इस समस्या को हल करने के लिए। हम एक 2D सरणी या एक मैट्रिक बनाएंगे जिसका [i, j] सेल सत्य है अगर हम 0 से i तक के तत्वों का उपयोग करते हुए जम्मू के बराबर उपसमूह प्राप्त कर सकते हैं। नहीं तो झूठा है।

पुनरावर्ती सूत्र

dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-input[i]]

पुनरावर्ती सूत्र से, हमें पता चलता है कि वर्तमान पंक्ति केवल अंतिम पंक्ति पर निर्भर है। इसलिए हम n तत्वों के लिए n पंक्तियों के बजाय केवल दो पंक्तियों को रखने से दूर हो सकते हैं। एक पंक्ति अंतिम तत्व के लिए एक पंक्ति की तरह और दूसरी वर्तमान तत्व के लिए कार्य करेगी। यह एक प्रसिद्ध डीपी अनुकूलन है।

कोड

O + (सम) स्थान में सबसेट सम समस्या के लिए C ++ कोड

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool findSubset(int arr[], int n, int targetSum)
{
  // dp array to store if any sum is possible
  bool dp[2][targetSum + 1];

  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= targetSum; j++) {

      // subset with sum equal to zero is always possible
      // we don't choose any element
      if (j == 0)
        dp[i % 2][j] = true;
      // j != 0 and i ==0
      else if (i == 0)
        dp[i % 2][j] = false;
      // current element is greater than the current value of sum(j)
      // so take OR of two conditions
      // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
      // 2. We don't take the current element
      else if (arr[i - 1] <= j)
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j];
      // Here we cannot take the current element
      // So simply check is such a subset is possible
      else
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j];
    }
  }

  return dp[n % 2][targetSum];
}

int main(){
  // Number of elements
  int n;cin>>n;
  // array to store non-negative numbers
  int a[n];
  for(int i=0;i<n;i++)
    cin>>a[i];
  int targetSum;
  cin>>targetSum;
  bool can = findSubset(a, n, targetSum);
  if(can == true)
    cout<<"The subset having sum equal to given input is possible";
  else
    cout<<"None of the subsets have sum equal to given input";
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

O (सम) स्पेस में सबसेट सम प्रॉब्लम के लिए जावा कोड

import java.util.*;

class Main{
  
  static boolean findSubset(int arr[], int n, int targetSum) 
  { 
    // dp array to store if any sum is possible
    boolean dp[][] = new boolean[2][targetSum + 1];

    for (int i = 0; i <= n; i++) { 
      for (int j = 0; j <= targetSum; j++) { 

        // subset with sum equal to zero is always possibe
        // we don't choose any element
        if (j == 0) 
          dp[i % 2][j] = true; 
        // j != 0 and i ==0
        else if (i == 0) 
          dp[i % 2][j] = false;
        // current element is greater than the current value of sum(j)
        // so take OR of two conditions
        // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
        // 2. We don't take the current element
        else if (arr[i - 1] <= j) 
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j]; 
        // Here we cannot take the current element
        // So simply check is such a subset is possible
        else
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j]; 
      } 
    }

    return dp[n % 2][targetSum]; 
  }
  
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    // Number of elements
    int n = sc.nextInt();
    // array to store non-negative numbers
    int a[] = new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
      a[i] = sc.nextInt();
    int targetSum = sc.nextInt();
    boolean can = findSubset(a, n, targetSum);
    if(can == true)
      System.out.println("The subset having sum equal to given input is possible");
    else
      System.out.println("None of the subsets have sum equal to given input");
  }
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

जटिलता विश्लेषण

समय जटिलता

ओ (सुम * न), क्योंकि हमने सभी तत्वों को ट्रेस कर लिया है और प्रत्येक राशि के लिए 0 से दी गई इनपुट राशि की जाँच की है कि यह संभव है या नहीं? तो समय जटिलता बहुपद है।

अंतरिक्ष जटिलता

ओ (सम), क्योंकि हमने प्रत्येक तत्व के लिए पंक्तियों का उपयोग नहीं किया है। इसके बजाय कि हमने वर्तमान और अंतिम तत्व के लिए मध्यवर्ती परिणामों को संग्रहीत करने के लिए बस दो पंक्तियों का उपयोग किया है। इस प्रकार अंतरिक्ष जटिलता रैखिक है।