एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम


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पहले चौड़ाई खोजो गतिशील प्रोग्रामिंग ग्राफ पंक्ति

विवरण

समस्या "एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम" में कहा गया है कि आपको एन एक्स एन आयामों का एक चौकोर शतरंज बोर्ड, नाइट टुकड़ा और लक्ष्य सेल के सह-निर्देश दिए जाते हैं। लक्ष्य सेल तक पहुंचने के लिए नाइट टुकड़ा द्वारा उठाए गए कदमों की न्यूनतम संख्या का पता लगाएं।

नाइट स्टेप्स: शतरंज के नियमों के अनुसार, एक नाइट एक दिशा में 2 वर्ग और लंबवत दिशा में 1 वर्ग (या इसके विपरीत) चलती है।

उदाहरण

(kx,ky) = (1,1) & (tx,ty) = (15,15)
Minimum number of moves = 10
(kx,ky) = (2,8) & (tx,ty) = (8,4)
Minimum number of moves = 4
(kx,ky) = (2,8) & (tx,ty) = (8,4)
Minimum number of moves = 4

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम

 

समाधान के प्रकार

  1. पहले चौड़ाई खोजो

  2. गतिशील प्रोग्रामिंग

पहले चौड़ाई खोजो

दृष्टिकोण

विचार करना है वित्तीय पर्यवेक्षण बोर्ड नाइट की प्रारंभिक स्थिति से शुरू। हम सभी अगली कोशिकाओं (और उनकी अगली कोशिकाओं) के लिए आगे बढ़ते हैं, किसी दिए गए स्थान (या सह-निर्देश) से पुनरावृत्ति करते हैं, अगली कोशिकाओं में से प्रत्येक का दौरा किया जाता है नाइट कदम तौर तरीका। बीएफएस कतार, प्रत्येक कतार नोड उस विशेष सेल तक पहुँचने के लिए उठाए गए कदमों की संख्या के साथ-साथ BFS ट्रैवर्सल के दौरान मिले सेल के को-ऑर्डिनेट्स को स्टोर करता है। एक बार लक्ष्य सेल BFS कतार से पॉपअप हो जाने पर, चरणों की संख्या का मान आवश्यक उत्तर होता है।

कलन विधि

1. Define a class that has following data variables:
    1. x: to store x-coordinate of the cell.
    2. y: to store y-coordinate of the cell.
    3. steps: number of steps required to reach that cell starting from co-ordinates of the Knight.
2. Create a BFS queue that stores class objects as nodes.
3. Begin the Iterative BFS traversal.
4. In every step of the iterative traversal, pop a node from the queue. say,the node is front.
5. If the cell at coordinates (front.y, front.x) is the target cell, return the value of front.steps.
    1. Else, continue the iterative traversal.

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम

कोड

C ++ प्रोग्राम नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम खोजने का कार्यक्रम

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// definition of queue node
class Node
{
    public:
    // y-coordinate
    int y;
    // x-coordinate
    int x;
    // number of steps to reach (y,x)
    int steps;
    
    // constructor
    Node(int i,int j,int moves)
    {
        y = i;
        x = j;
        steps = moves;
    }
};

// traversal array along rows
int dx[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
// traversal array along columns
int dy[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}; 

// BFS to return number of steps required to reach from source to target
int BFS(Node source, Node target, int N)
{
    // set to mark a cell as visited
    unordered_set <string> visited;
    // BFS queue
    queue <Node> q;
    // push the source node
    q.push(source);
    
    // BFS traversal 
    while(!q.empty())
    {
        Node front = q.front();
        q.pop(); 
        
        // if target coordinate is reached
        if(front.y == target.y && front.x == target.x)
        return front.steps;
        
        // traverse all neighbors of current cell
        for(int i=0;i<8;i++)
        {
            int next_y = front.y + dy[i];
            int next_x = front.x + dx[i];
            
            // store coordinates of a cell as string
            string search = to_string(next_y) + '|' + to_string(next_x);
            
            // move to neighbor cell if it is not visited lies within the N x N chessboard
            if(visited.find(search) == visited.end() && next_y > 0 && next_x > 0 && next_y <= N && next_x <= N)
            {
                Node next(next_y,next_x,front.steps+1);
                q.push(next);
                visited.insert(search);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    // dimensions of the square chessboard
    int N = 8;
    // coordinates of source & target cell
    Node source(2,8,0), target(8,4,-1);
    cout<<"Number of steps : "<<BFS(source,target,N)<<endl;
    return 0;
}
Number of steps : 4

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए जावा प्रोग्राम न्यूनतम कदम खोजने के लिए

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup 
{
    // definition of queue node
    static class Node
    {
        // y-coordinate
        int y;
        // x-coordinate
        int x;
        // number of steps to reach (y,x)
        int steps;
        
        // constructor
        Node(int i,int j,int moves)
        {
            y = i;
            x = j;
            steps = moves;
        }
    };
    
    // traversal array along rows
    static int dx[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
    // traversal array along columns
    static int dy[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}; 
    
    // BFS to return number of steps required to reach from source to target
    static int BFS(Node source, Node target, int N)
    {
        // set to mark a cell as visited
        HashSet <String> visited = new HashSet<>();
        // BFS queue
        Queue <Node> q = new LinkedList<>();
        // push the source node
        q.add(source);
        
        // BFS traversal 
        while(!q.isEmpty())
        {
            Node front = q.poll();
            
            // if target coordinate is reached
            if(front.y == target.y && front.x == target.x)
            return front.steps;
            
            // traverse all neighbors of current cell
            for(int i=0;i<8;i++)
            {
                int next_y = front.y + dy[i];
                int next_x = front.x + dx[i];
                
                // store coordinates of a cell as string
                String search = next_y + "|" + next_x;
                
                // move to neighbor cell if it is not visited lies within the N x N chessboard
                if(visited.contains(search) == false && next_y > 0 && next_x > 0 && next_y <= N && next_x <= N)
                {
                    Node next = new Node(next_y,next_x,front.steps+1);
                    q.add(next);
                    visited.add(search);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    public static void main (String[] args)
    {
        // dimensions of the square chessboard
        int N = 8;
        // coordinates of source & target cell
        Node source = new Node(2,8,0);
        Node target = new Node(8,4,-1);
        System.out.println("Number of steps : "+BFS(source,target,N));
    }
}
Number of steps : 4

जटिलता विश्लेषण

  1. समय जटिलता: टी (एन) = ओ (एन ^ 2)
    क्योंकि हमारे पास एक वर्ग मैट्रिक्स है और सबसे खराब स्थिति में है। इस प्रकार हमें प्रत्येक कोशिका से निपटना पड़ सकता है। और इस तरह एक द्विघात समय जटिलता प्राप्त की जाती है।
  2. अंतरिक्ष जटिलता: ए (एन) = ओ (एन ^ 2)
    यहां हमने बीएफएस का उपयोग किया है, जिसके कारण एल्गोरिथ्म में बहुपद अंतरिक्ष जटिलता है।

गतिशील प्रोग्रामिंग

दृष्टिकोण

समस्या के दृष्टिकोण को समझने के लिए नीचे दिए गए बिंदुओं पर विचार करें:

नीचे दी गई मान्यताओं पर विचार करें:

  1. शतरंज बोर्ड एक मानक N x N वर्ग है।
  2. kx & ky नाइट के निर्देशांक हैं।
  3. tx और ty लक्ष्य सेल के निर्देशांक हैं।

 

गैर-रेखीय पदों : यदि नाइट और लक्ष्य सेल विभिन्न पंक्तियों और स्तंभों के साथ हैं। यानी केएक्स नहीं = tx & ky नहीं = Ty।

  1. उदा: (kx, ky) = (3,3) और (tx, ty) = (6,6)
  2. केवल 2 चरण लक्ष्य की ओर बढ़ते हैं, जो हैं:
    • (3,3) -> (4,5) और (3,3) -> (5,4)
  3. तो, का उपयोग कर गतिशील प्रोग्रामिंग, minSteps {(3,3) से (6,6)} = 1 + [minSteps {(4,5) से (6,6%)} or minSteps {(5,4) से (6,6)}]

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम

रैखिक स्थिति : यदि नाइट और लक्ष्य सेल एक ही पंक्ति या कॉलम के साथ हैं। या तो kx = tx or ky = ty.

  1. उदा: (kx, ky) = (2,4) और (tx, ty) = (7,4)
  2. लक्ष्य की ओर कुल 4 चरण हैं, जो हैं:
    • (2,4) -> (4,5) और (2,4) -> (4,3), ये दोनों चरण समतुल्य हैं
    • (2,4) -> (3,6) और (2,4) -> (3,2), ये दोनों चरण समतुल्य हैं
  3. तो, का उपयोग कर गतिशील प्रोग्रामिंग, minSteps {(2,4) से (7,4)} = 1 + मिनट[minSteps {(2,4) से (4,5)} , minSteps {(2,4) से (3,6)}].

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम

कॉर्नर केस : अगर या तो नाइट या टारगेट कोने में है और [पेट(kएक्स-टीएक्स) , एब्स(kवाय-टी)] = [1,1]। फिर लक्ष्य तक पहुँचने के लिए न्यूनतम चरण 4 होंगे।

निम्नलिखित कोड स्निपेट आधार मामलों को दर्शाता है:

बेस केस : आधार मामलों पर नीचे चर्चा की गई है:

निम्नलिखित कोड स्निपेट आधार मामलों को दर्शाता है:

पिछली कक्षा का गतिशील प्रोग्रामिंग सारणीकरण का उपयोग कर समीकरण बन जाता है:

  1. टेबल [एब्स (kx - tx)] [एब्स (ky - ty)] = नाइट की स्थिति (kx, ky) से लक्ष्य स्थिति (tx, ty) तक पहुंचने के लिए न्यूनतम चरणों की संख्या।
  2. टेबल [एब्स (kx - tx)] [एब्स (ky - ty)] = तालिका [एब्स (ky - ty)] [एब्स (kx - tx)]।

कलन विधि

1. Define the solution for corner cases. i.e. when the knight or target are at 4 corners of the board and difference in their positions are (1,1). The minimum number of moves from source to target is 4. These positions are depicted below:
2. Define the base cases as discussed below:
    1. when the Knight & target are at adjacent squares (along the same row/column), minimum number of moves required to reach the destination is 3.
    2. when the Knight & target are at adjacent squares but lie diagonally to each other, minimum number of moves required to reach the destinations is 2.
    3. when Knight & target are at positions as depicted in the image, minimum number of moves required to reach destination is 1.
    4. If the Knight & target are at same position, minimum number of moves required is 0.
3. For any other case, refer Linear Positions & Non-Linear Positions in the approach section.

कोड

C ++ प्रोग्राम नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए न्यूनतम कदम खोजने का कार्यक्रम

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int minStepsRecur(int kx, int ky, int tx, int ty, vector<vector<int>>& table) 
{ 
    // when Knight & Target are at same position
    if (kx == tx && ky == ty) 
        return table[0][0];
    
    else 
    { 
        // if value in the table has been calculated already
        if (table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)] != 0) 
            return table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)]; 
            
        // Linear Positions
        /* Knight can move to -->2 different squares<-- that goes towards the Target */
        
        // Non-Linear Positions
        /* Knight can move to 4 different squares that 
        goes towards the Target of which -->2 are equivalent<-- */
        
        // For every position of Knight & Target 
        // there are 2 different positions i.e. (x1,y1) & (x2,y2), the Knight can move to. 
        else 
        { 
  
            int x1, y1, x2, y2; 
              
            // the values of (x1,y1) & (x2,y2) depend upon relative positions of Knight & Target
            // (x1,y1) & (x2,y2) are midway between (kx,ky) & (tx,ty)
            // Their calculations are made accordingly
            if (kx <= tx) 
            { 
                if (ky <= ty) 
                { 
                    x1 = kx + 2; 
                    y1 = ky + 1; 
                    x2 = kx + 1; 
                    y2 = ky + 2; 
                } 
                else 
                { 
                    x1 = kx + 2; 
                    y1 = ky - 1; 
                    x2 = kx + 1; 
                    y2 = ky - 2; 
                } 
            } 
            
            else 
            { 
                if (ky <= ty) 
                { 
                    x1 = kx - 2; 
                    y1 = ky + 1; 
                    x2 = kx - 1; 
                    y2 = ky + 2; 
                } 
                else 
                { 
                    x1 = kx - 2; 
                    y1 = ky - 1; 
                    x2 = kx - 1; 
                    y2 = ky - 2; 
                } 
            } 
              
            // The minimum steps from (kx,ky) to (tx,ty) = 1 + minimum of steps from (x1, y1) to (x2, y2). 
            table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)] = 1 + min(minStepsRecur(x1, y1, tx, ty, table),minStepsRecur(x2, y2, tx, ty, table)); 
                             
            // exchanging the coordinates x with y of both knight and target will result in same min moves. 
            table[abs(ky - ty)][abs(kx - tx)] = table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)];
            
            return table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)]; 
        } 
    } 
} 

int minSteps(int kx, int ky, int tx, int ty, int n)
{
    // Corner Cases
    if ((kx == 1 && ky == 1 && tx == 2 && ty == 2) || (kx == 2 && ky == 2 && tx == 1 && ty == 1)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == 1 && ky == n && tx == 2 && ty == n - 1) || (kx == 2 && ky == n - 1 && tx == 1 && ty == n)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == n && ky == 1 && tx == n - 1 && ty == 2) || (kx == n - 1 && ky == 2 && tx == n && ty == 1)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == n && ky == n && tx == n - 1 && ty == n - 1) || (kx == n - 1 && ky == n - 1 && tx == n && ty == n)) 
        return 4;
    
    else 
    {
        vector <int> row(20,0);
        vector <vector<int>> table;
        

        for(int i=0; i<20; i++)
        table.push_back(row);
        
        // Base Cases
        table[2][1] = 1; 
        table[1][2] = 1; 
        
        table[1][1] = 2; 
        table[2][0] = 2; 
        table[0][2] = 2;
        
        table[1][0] = 3; 
        table[0][1] = 3; 
        
       
        // Linear & Non-Linear positions
        return minStepsRecur(kx, ky, tx, ty, table);
    } 
}

int main()
{
    int n = 8;
    int kx = 2, ky = 8, tx = 8, ty = 4;
    
    cout<<"Number of steps : "<<minSteps(kx,ky,tx,ty,n)<<endl;
    return 0;
}
Number of steps : 4

एक नाइट द्वारा लक्ष्य तक पहुंचने के लिए जावा प्रोग्राम न्यूनतम कदम खोजने के लिए

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup
{
    static int minStepsRecur(int kx, int ky, int tx, int ty, int [][] table) 
    { 
        // when Knight & Target are at same position
        if (kx == tx && ky == ty) 
            return table[0][0];
        
        else 
        { 
            // if value in the table has been calculated already
            if (table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)] != 0) 
                return table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)]; 
                
            // Linear Positions
            /* Knight can move to -->2 different squares<-- that goes towards the Target */
            
            // Non-Linear Positions
            /* Knight can move to 4 different squares that 
            goes towards the Target of which -->2 are equivalent<-- */
            
            // For every position of Knight & Target 
            // there are 2 different positions i.e. (x1,y1) & (x2,y2), the Knight can move to. 
            else 
            { 
      
                int x1, y1, x2, y2; 
                  
                // the values of (x1,y1) & (x2,y2) depend upon relative positions of Knight & Target
                // (x1,y1) & (x2,y2) are midway between (kx,ky) & (tx,ty)
                // Their calculations are made accordingly
                if (kx <= tx) 
                { 
                    if (ky <= ty) 
                    { 
                        x1 = kx + 2; 
                        y1 = ky + 1; 
                        x2 = kx + 1; 
                        y2 = ky + 2; 
                    } 
                    else 
                    { 
                        x1 = kx + 2; 
                        y1 = ky - 1; 
                        x2 = kx + 1; 
                        y2 = ky - 2; 
                    } 
                } 
                
                else 
                { 
                    if (ky <= ty) 
                    { 
                        x1 = kx - 2; 
                        y1 = ky + 1; 
                        x2 = kx - 1; 
                        y2 = ky + 2; 
                    } 
                    else 
                    { 
                        x1 = kx - 2; 
                        y1 = ky - 1; 
                        x2 = kx - 1; 
                        y2 = ky - 2; 
                    } 
                } 
                  
                // The minimum steps from (kx,ky) to (tx,ty) = 1 + minimum of steps from (x1, y1) to (x2, y2). 
                table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)] = 1 + Math.min(minStepsRecur(x1, y1, tx, ty, table),minStepsRecur(x2, y2, tx, ty, table)); 
                                 
                // exchanging the coordinates x with y of both knight and target will result in same min moves. 
                table[Math.abs(ky - ty)][Math.abs(kx - tx)] = table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)];
                
                return table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)]; 
            } 
        } 
    } 

    static int minSteps(int kx, int ky, int tx, int ty, int n)
    {
        // Corner Cases
        if ((kx == 1 && ky == 1 && tx == 2 && ty == 2) || (kx == 2 && ky == 2 && tx == 1 && ty == 1)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == 1 && ky == n && tx == 2 && ty == n - 1) || (kx == 2 && ky == n - 1 && tx == 1 && ty == n)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == n && ky == 1 && tx == n - 1 && ty == 2) || (kx == n - 1 && ky == 2 && tx == n && ty == 1)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == n && ky == n && tx == n - 1 && ty == n - 1) || (kx == n - 1 && ky == n - 1 && tx == n && ty == n)) 
            return 4;
        
        else 
        {
            int [][] table = new int[20][20];
            
            // Base Cases
            table[2][1] = 1; 
            table[1][2] = 1; 
            
            table[1][1] = 2; 
            table[2][0] = 2; 
            table[0][2] = 2;
            
            table[1][0] = 3; 
            table[0][1] = 3; 
            
           
            // Linear & Non-Linear positions
            return minStepsRecur(kx, ky, tx, ty, table);
        } 
    }
    
    public static void main (String[] args) 
    {
        int n = 8;
        int kx = 2, ky = 8, tx = 8, ty = 4;
        
        System.out.println("Number of steps : "+minSteps(kx,ky,tx,ty,n));
    }
}
Number of steps : 4

जटिलता विश्लेषण

  1. समय जटिलता: टी (एन) = ओ [एब्स ( (kx-tx) * (ky-ty) )]
    क्योंकि हम केवल उन कोशिकाओं के साथ काम कर रहे हैं जो शुरू और गंतव्य सेल द्वारा गठित सबमेट्रिक्स में आती हैं। तो, भले ही इस समाधान में भी उपरोक्त समाधान के समान द्विघात समय जटिलता हो।
  2. अंतरिक्ष जटिलता: ए (एन) = ओ [एब्स ( (kx-tx) * (ky-ty) )]

कहा पे,

  1. (kx, ky) = नाइट की स्थिति
  2. (tx, ty) = लक्ष्य सेल की स्थिति