दिए गए इंडेक्स की जीसीडी एक सरणी में होती हैं


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ऐरे क्वेरी की समस्या खंड-वृक्ष पेड़

समस्या का विवरण

समस्या 'GCDs की दी गई अनुक्रमणिका श्रेणियाँ एक सरणी में' बताती है कि आपको a पूर्णांक सरणी और कुछ रेंज क्वेरीज़। समस्या कथन सीमा के भीतर गठित उप-सरणी के महानतम सामान्य भाजक का पता लगाने के लिए कहता है।

उदाहरण

arr[] = {10, 5, 18, 9, 24}
Query: {(0, 1), (2, 4), (0, 3)}
5 3 1

व्याख्या

पहली क्वेरी का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 0 और 1 से है, इसलिए 10 और 5 का GCD 5 है।

दूसरी क्वेरी का GCD 2 और 4 से है, इसलिए 18, 9, 24 का GCD 3 है।

पहली क्वेरी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 0 और 3 से है, इसलिए GCD 1 है।

दिए गए इंडेक्स की जीसीडी एक सरणी में होती हैं

 

कलन विधि

  1. [N-0] को गिरफ्तार करने के लिए एक खंड गिरफ्तार [1] से शुरू करें, और बराबर भागों में विभाजन जारी रखें। हर बार हम वर्तमान अनुभाग को समान भागों में विभाजित करते हैं। फिर दो हिस्सों के लिए पुनरावर्ती कॉल करें। और इस तरह के प्रत्येक सेगमेंट के लिए, हम एक सेगमेंट ट्री में सबसे बड़ी कॉमन डिविज़र वैल्यू स्टोर करते हैं।
  2. एक सेगमेंट ट्री बनाएं जो पिछले स्तर से अलग भरा जाएगा।
  3. सेगमेंट ट्री का प्रत्येक नोड एक निश्चित सीमा के अनुरूप सभी तत्वों के GCD को संग्रहीत करता है।
  4. जीसीडी की क्वेरी का पता लगाने के लिए, यदि नोड की रेंज startQuery और एंडिक्यू में होगी, तो नोड में मान लौटाएं।
  5. और यदि, रेंज मान्य नहीं है, तो नल या -1 लौटाएं।
  6. एएलएस जीसीडी फ़ंक्शन के पुनरावर्ती कॉल को वापस करता है।

व्याख्या

हमें ए पूर्णांक सरणी और प्रश्नों की संख्या। प्रत्येक क्वेरी में startQuery और endQuery के रूप में सीमा है। इस सीमा के भीतर, हमें सभी नंबरों के सबसे बड़े सामान्य भाजक का पता लगाना होगा जो दी गई सीमा को पूरा करते हैं। इसके लिए हम निर्माण करने जा रहे हैं खंड पेड़, हम लॉग एन * लॉग एन के कुशल समय में प्रश्नों को हल करेंगे।

हम एरे के 0 वें स्थान से एरे के आखिरी स्थान तक सेगमेंट ट्री का निर्माण शुरू करेंगे और महत्वपूर्ण हिस्सा एरे को दो हिस्सों में विभाजित कर रहा है। हम इसे तब तक विभाजित करना जारी रखेंगे जब तक कि सरणी की लंबाई एक न हो जाए, फिर अगले चरण में फ़ंक्शन को सरणी के दोनों हिस्सों में पुन: कॉल करें। यहां हम एक पेड़ के नोड में सबसे बड़ा सामान्य भाजक का भंडारण करेंगे। पत्ती नोड्स को छोड़कर सभी आंतरिक नोड्स अशक्त नहीं होंगे। जो पेड़ बनाया गया है वह एक द्विआधारी पेड़ होगा। क्योंकि हर नोड स्तर पर सरणी के दो भाग होते हैं। लेकिन एक द्विआधारी पेड़ की तुलना में, जहां नोड्स एक एकल संख्या के बजाय एक सीमा का प्रतिनिधित्व करते हैं।

दिए गए महानतम सामान्य भाजक के प्रत्येक प्रश्न के लिए, हम जांचते हैं कि नोड की सीमा startQuery और एंडिक्यू की सीमा के भीतर है या नहीं। फिर हम सेगमेंट ट्री के नोड में मान लौटाएंगे। हमारे पास एक दूसरी शर्त भी होती है, जहां यदि नोड की सीमा रेंज रेंज रेंज की सीमा से बाहर है और एंडिकैड रेंज है। फिर हम -1 या शून्य मान लौटाएंगे। और फ़ंक्शन को लगातार प्रगतिशील बनाने के लिए, हम पुन: नोड के बच्चे, बाएं और दाएं दोनों को पुन: कॉल करेंगे। फिर नोड्स से लौटाए गए मूल्य का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें।

कोड

किसी सरणी में दिए गए अनुक्रमणिका श्रेणियों के GCD को खोजने के लिए C ++ कोड

#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;

int *segTree;

int gcd(int a, int b)
{
    if (a < b)
    {
        int temp = b;
        b = a;
        a = temp;
    }

    if (b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

int getGCDOfNumber(int startNode, int endNode, int startQuery, int endQuery, int si)
{
    if (startNode>endQuery || endNode < startQuery)
        return 0;
    if (startQuery<=startNode && endQuery>=endNode)
        return segTree[si];

    int mid = startNode+(endNode-startNode)/2;

    return gcd(getGCDOfNumber(startNode, mid, startQuery, endQuery, si*2+1),
               getGCDOfNumber(mid+1, endNode, startQuery, endQuery, si*2+2));
}

int findRangeGcd(int startNode, int endNode, int arr[],int n)
{
    if (startNode<0 || endNode > n-1 || startNode>endNode)
    {
        cout << "Invalid Arguments" << "\n";
        return -1;
    }
    return getGCDOfNumber(0, n-1, startNode, endNode, 0);
}

int buildSegementTree(int arr[], int startNode, int endNode, int si)
{
    if (startNode==endNode)
    {
        segTree[si] = arr[startNode];
        return segTree[si];
    }
    int mid = startNode+(endNode-startNode)/2;

    segTree[si] = gcd(buildSegementTree(arr, startNode, mid, si*2+1),
                      buildSegementTree(arr, mid+1, endNode, si*2+2));
    return segTree[si];
}

int *constructendNodegmentTree(int arr[], int n)
{
    int height = (int)(ceil(log2(n)));
    int size = 2*(int)pow(2, height)-1;
    segTree = new int[size];
    buildSegementTree(arr, 0, n-1, 0);
    return segTree;
}

int main()
{
    int a[] = {10, 5, 18, 9, 24};
    int n = sizeof(a)/sizeof(a[0]);

    constructendNodegmentTree(a, n);

    int l = 0, r = 1;
    cout << "Greatest Common Divisor is: ";
    cout << findRangeGcd(l, r, a, n) << "\n";

    l = 2;
    r = 4;
    cout << "Greatest Common Divisor is: ";
    cout << findRangeGcd(l, r, a, n) << "\n";

    l = 0;
    r = 3;
    cout << "Greatest Common Divisor is: ";
    cout << findRangeGcd(l, r, a, n) << "\n";

    return 0;
}
Greatest Common Divisor is: 5
Greatest Common Divisor is: 3
Greatest Common Divisor is: 1

किसी सरणी में दिए गए अनुक्रमणिका श्रेणियों के GCD को खोजने के लिए जावा कोड

import java.io.*;

public class GCDOfNumber
{
    private static int[] segTree;

    public static int[] buildSegmentTree(int[] arr)
    {
        int height = (int)Math.ceil(Math.log(arr.length)/Math.log(2));
        int size = 2*(int)Math.pow(2, height)-1;
        segTree = new int[size];
        SegementTree(arr, 0, arr.length-1, 0);

        return segTree;
    }

    public static int SegementTree(int[] arr, int startNode,
                                   int endNode, int si)
    {
        if (startNode==endNode)
        {
            segTree[si] = arr[startNode];

            return segTree[si];
        }
        int mid = startNode+(endNode-startNode)/2;

        segTree[si] = gcd(SegementTree(arr, startNode, mid, si*2+1),
                          SegementTree(arr, mid+1, endNode, si*2+2));
        return segTree[si];
    }

    private static int gcd(int a, int b)
    {
        if (a < b)
        {
            int temp = b;
            b = a;
            a = temp;
        }

        if (b==0)
            return a;
        return gcd(b,a%b);
    }

    public static int findRangeGcd(int startNode, int endNode, int[] arr)
    {
        int n = arr.length;

        if (startNode<0 || endNode > n-1 || startNode>endNode)
            throw new IllegalArgumentException("Invalid arguments");

        return findGcd(0, n-1, startNode, endNode, 0);
    }

    public static int findGcd(int startNode, int endNode, int startQuery, int endQuery, int si)
    {
        if (startNode>endQuery || endNode < startQuery)
            return 0;

        if (startQuery<=startNode && endQuery>=endNode)
            return segTree[si];

        int mid = startNode+(endNode-startNode)/2;

        return gcd(findGcd(startNode, mid, startQuery, endQuery, si*2+1),
                   findGcd(mid+1, endNode, startQuery, endQuery, si*2+2));
    }

    public static void main(String[] args)throws IOException
    {
        int[] a = {10, 5, 18, 9, 24};

        buildSegmentTree(a);

        int l = 0, r = 1;
        System.out.println("Greatest Common Divisor is: "+findRangeGcd(l, r, a));

        l = 2;
        r = 4;
        System.out.println("Greatest Common Divisor is: "+findRangeGcd(l, r, a));

        l = 0;
        r = 3;
        System.out.println("Greatest Common Divisor is: "+findRangeGcd(l, r, a));
    }
}
Greatest Common Divisor is: 5
Greatest Common Divisor is: 3
Greatest Common Divisor is: 1

जटिलता विश्लेषण

समय जटिलता

O (n लॉग एन + लॉग एन * लॉग (मिनट (ए, बी))) जहां "N" नोड्स की संख्या है और 'ए' और "बी" नोड्स हैं जिनकी जीसीडी मर्ज ऑपरेशन के दौरान गणना की जाती है। ओ (एन लोगन) निर्माण के लिए समय व्यतीत होता है और O (लॉग एन) प्रत्येक प्रश्न का उत्तर देने के लिए और फिर O (लॉग (मिनट (a, b))) gcd खोजने का समय।

अंतरिक्ष जटिलता

पर) जहां "N" नोड्स है। अंतरिक्ष एक खंड वृक्ष के निर्माण में खर्च किया जाता है।