मूल सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई


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पहले चौड़ाई खोजो गतिशील प्रोग्रामिंग ग्राफ पंक्ति पेड़

विषय - सूची

समस्या का विवरण

"माता-पिता की सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई" समस्या बताती है कि आपको एक सरणी par [0… n-1] के रूप में n कोने के साथ एक पेड़ दिया जाता है। यहाँ प्रत्येक सूचकांक मैं बराबर में [] एक नोड का प्रतिनिधित्व करता है और मैं उस नोड के तत्काल माता-पिता का प्रतिनिधित्व करता है। मूल अभिभावक के लिए रूट नोड के लिए, बराबर [] सरणी में इसके लिए मान -1 होगा। अब हमें पैरेंट लिंकेज को देखते हुए पेड़ की ऊंचाई का पता लगाना होगा।

नीचे दिए गए बराबर [] सरणी पर विचार करें:

मूल सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई

इन बराबर [] सरणी लिंकेज का उपयोग करके निर्मित पेड़ नीचे दिया गया है:

मूल सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई

नोट: पेड़ की ऊंचाई 100 इकाइयों से आगे नहीं जा सकती।

मूल सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई

उदाहरण

[-1 0 0 1 2 2 4]
3

स्पष्टीकरण: सबसे लंबे पथ पर किनारों की संख्या 3 है।

[-1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 7]
4

स्पष्टीकरण: सबसे लंबे मार्ग पर किनारों की संख्या (0-> 1-> 3-> 7-> 10) 4 है।

समाधान के प्रकार

  1. पहले चौड़ाई खोजो
  2. गतिशील प्रोग्रामिंग

पहले चौड़ाई खोजो

अभिभावक सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई खोजने के लिए दृष्टिकोण

इस समस्या को हल करने के लिए हम दिए गए बराबर [] सरणी का उपयोग करके एक पेड़ (ग्राफ डेटा संरचना) का निर्माण करेंगे। अब हम बीएफएस को रूट नोड से शुरू करते हैं और पेड़ के रास्ते के साथ सबसे लंबा रास्ता (या सबसे पीछे वाले हिस्से की दूरी) का पता लगाते हैं। तो, इस दूरी के मूल्य को ही पेड़ की ऊंचाई कहा जाता है। बीएफएस एक ग्राफ ट्रैवर्सल एल्गोरिथम के अलावा और कुछ नहीं है जो पूरे ग्राफ को ट्रैवर्स करता है। पहले चौड़ाई खोजो ऐसे काम करता है, जो नोड्स वर्तमान नोड के सबसे करीब हैं, नोड्स से अधिक दूरी से पहले ट्रैवर्स किए जाते हैं। इस तरह हम रूट से प्रत्येक नोड की दूरी का पता लगाने में सक्षम हैं। और सबसे बड़ी दूरी वाले नोड को पेड़ की ऊंचाई पर नोड कहा जाता है।

कलन विधि

1. Construct the directed graph using the par[] array values.
2. The edges in graph should be directed from node par[i] to i. i.e, par[i] --> i.
3. The root node has no parent and hence, no incoming edge.
4. Now starting from the root node, perform BFS, and calculate distance of each of the nodes in the tree from the root node itself.
5. The largest distance value is the height of the tree.

 

एल्गोरिथ्म नीचे दिखाया गया है:

मूल सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई

मूल सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई

BFS का उपयोग कर एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई

कोड

C ++ प्रोग्राम पैरेंट ऐरे से जेनेरिक ट्री की ऊंचाई खोजने के लिए

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// perform BFS to calculate Height
int BFS(vector <int> par)
{
    int root;
    int n = par.size();
    vector <int> graph[n];
    
    // construct graph from given parent array
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(par[i] != -1)
        graph[par[i]].push_back(i);    
        
        else
        root = i;
    }
    
    // to store distance of each node from the root
    vector <int> distance(n,0);
    
    // create BFS queue
    queue <int> q;
    // insert the root node
    q.push(root);
    
    // Begin BFS & calculate distance of each node from root
    while(!q.empty())
    {
        int front = q.front();
        q.pop();
        
        for(auto i : graph[front])
        {
            distance[i] = distance[front] + 1;
            q.push(i);
        }
    }
    
    // return height of the Tree
    return *max_element(distance.begin(),distance.end());
}

int main()
{
    // define parent array
    vector <int> par = {-1,0,0,1,2,2,4};
    cout<<"Height of the Tree : "<<BFS(par)<<endl;
    return 0;
}
Height of the Tree : 3

पैरेंट ऐरे से जेनेरिक ट्री की हाइट खोजने के लिए जावा प्रोग्राम

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup 
{
    // perform BFS to calculate Height
    static int BFS(int [] par)
    {
        int root = 0;
        int n = par.length;
        ArrayList <ArrayList <Integer>> graph = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
        
        // construct graph from given parent array
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            graph.add(new ArrayList<Integer>());
            
            if(par[i] != -1)
            graph.get(par[i]).add(i);    
            
            else
            root = i;
        }
        
        // to store distance of each node from the root
        int distance[] = new int[n];
        
        // create BFS queue
        Queue <Integer> q = new LinkedList<>();
        // insert the root node
        q.add(root);
        
        // Begin BFS & calculate distance of each node from root
        while(!q.isEmpty())
        {
            int front = q.poll();
            
            Iterator itr = graph.get(front).iterator();
            
            while(itr.hasNext())
            {
                int i = (Integer)itr.next();
                distance[i] = distance[front] + 1;
                q.add(i);
            }
        }
        
        // return height of the Tree
        int height = 0;
        for(int i=0;i<distance.length;i++)
        height = Math.max(height,distance[i]);
        
        return height;
    }
    
    public static void main (String[] args)
    {
        // define parent array
        int [] par = {-1,0,0,1,2,2,4};
        System.out.println("Height of the Tree : "+BFS(par));
    }
}
Height of the Tree : 3

जटिलता विश्लेषण

समय जटिलता

टी (एन) = ओ (वी + ई) = ओ (2 वी -1) = O (V)। यहाँ हमने एक चौड़ाई-प्रथम खोज की है जो पूरे पेड़ को कवर करेगी और इस प्रकार कुल V वर्टिस को कवर किया जाएगा। इस प्रकार हमें एक रैखिक समय जटिलता दे रही है।

अंतरिक्ष जटिलता

ए (एन) = O (V), BFS कतार और ग्राफ-ट्री के लिए बनाया गया। सबसे खराब स्थिति में, हमारे पास एक स्टार ट्री हो सकता है, जहां सभी नोड्स में मूल के अलावा एक ही मूल है। इस प्रकार उस स्थिति में, सबसे खराब स्थान जटिलता प्राप्त की जाएगी जो ओ (वी) होगी।

कहा पे,

पेड़ में V = संख्याओं की संख्या।

ई = एक पेड़ में किनारों की संख्या = वी -1

गतिशील प्रोग्रामिंग

अभिभावक सरणी से एक सामान्य पेड़ की ऊँचाई खोजने के लिए दृष्टिकोण

में पेड़ एन नोड्स के लिए, 0 से एन -1 के क्रम में प्रत्येक नोड पर जाएं। प्रत्येक नोड की गणना के लिए यह फ़ंक्शन का उपयोग करके ऊंचाई है findHeight () (एक नोड की ऊंचाई उस विशेष नोड और रूट नोड के बीच किनारों की संख्या है)।

नोड की ऊंचाई की गणना करने से पहले, सभी पूर्वजों के नोड्स की ऊंचाई को पुनरावर्ती रूप से गणना करने की आवश्यकता होती है। खोज यह कार्य पुनरावर्ती करता है। पेड़ में एक नोड की ऊंचाई की गणना के बाद। इसे चिह्नित किया जाना चाहिए (का दौरा किया[] इस उद्देश्य के लिए सरणी का उपयोग किया जाता है)।

कलन विधि

1. Define two functions findDistance( ) & findHeight( ) for calculating height of each node in the tree.
2. Visit each node iteratively in order from 0 to V-1 (where V = number of vertices).
3. For a particular node, calculate heights of all it's ancestors recursively before the calculating height of the node itself, this is done using findDistance() recursive function.
4. every ancestor node visited should be marked as visited (using visited[ ] array).
5. Return the maximum value in the height[ ].
6. steps 1 to 5 are encapsulated in findHeight( ) function.

 

गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर पेड़ की ऊंचाई

 

कोड

C ++ प्रोग्राम पैरेंट ऐरे से जेनेरिक ट्री की हाइट खोजने का प्रोग्राम

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// function to find height of node - i from tree root
int findDistance(vector <int> par, int i, vector <bool> &visited, vector <int> &height)
{
    // if root node is encountered
    if(par[i] == -1)
    {
        visited[i] = true;
        return 0;
    }
    
    // if node is already visited
    // return it's calculated height
    if(visited[i])
    return height[i];
    
    // if a node is not visited
    // below steps are executed
    
    // mark node visited
    visited[i] = true;
    // calculate height of node
    height[i] = 1+findDistance(par,par[i],visited,height);
    // return height after calculation    
    return height[i];
}

// function to calculate maximum height
int findHeight(vector <int> par)
{
    int maxHeight = 0;
    
    int n = par.size();
    
    // visited array is used to check if a node is visited
    vector <bool> visited(n,false);
    // calculate height of each node in the tree
    vector <int> height(n,0);
    
    // traverse each node of the tree
    // evaluate height of each node & store maximum of all heights 
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        height[i] = findDistance(par,i,visited,height);
        maxHeight = max(maxHeight,height[i]);
    }
    
    // return maximum of all heights
    return maxHeight;
}

int main()
{
    // define parent array
    vector <int> par = {-1,0,0,1,2,2,4};
    cout<<"Height of the Tree : "<<findHeight(par)<<endl;
    return 0;
}
Height of the Tree : 3

पैरेंट ऐरे से जेनेरिक ट्री की हाइट खोजने के लिए जावा प्रोग्राम

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup 
{
    // function to find height of node - i from tree root
    static int findDistance(int [] par, int i, boolean [] visited, int [] height)
    {
        // if root node is encountered
        if(par[i] == -1)
        {
            visited[i] = true;
            return 0;
        }
        
        // if node is already visited
        // return it's calculated height
        if(visited[i] == true)
        return height[i];
        
        // if a node is not visited
        // below steps are executed
        
        // mark node visited
        visited[i] = true;
        // calculate height of node
        height[i] = 1+findDistance(par,par[i],visited,height);
        // return height after calculation    
        return height[i];
    }

    // function to calculate maximum height
    static int findHeight(int [] par)
    {
        int maxHeight = 0;
        
        int n = par.length;
        
        // visited array is used to check if a node is visited
        boolean [] visited = new boolean[n];
        // calculate height of each node in the tree
        int [] height = new int[n];
        
        // traverse each node of the tree
        // evaluate height of each node & store maximum of all heights 
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            height[i] = findDistance(par,i,visited,height);
            maxHeight = Math.max(maxHeight,height[i]);
        }
        
        // return maximum of all heights
        return maxHeight;
    }
    
    public static void main (String[] args)
    {
        // define parent array
        int [] par = {-1,0,0,1,2,2,4};
        System.out.println("Height of the Tree : "+findHeight(par));
    }
}
Height of the Tree : 3

जटिलता विश्लेषण

समय जटिलता

पर),  क्योंकि यहाँ भी हम पेड़ के सभी नोड्स का पता लगाएंगे। चूंकि हम पेड़ के सभी नोड्स का पता लगा रहे हैं। उसके कारण, हमने रैखिक समय जटिलता ओ (एन) प्राप्त की जहां एन ने पेड़ में नोड्स की संख्या को दर्शाया।

अंतरिक्ष जटिलता

पर), हमें प्रत्येक नोड के लिए ऊंचाई स्टोर करने की आवश्यकता है। चूंकि वर्तमान नोड के बच्चों द्वारा इसका उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार एल्गोरिथ्म में रैखिक अंतरिक्ष जटिलता है।