Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез


Ниво на тешкотија Тешко
Често прашувано во Амазон Скопје MakeMyTrip
Прво пребарување на ширина Динамичко програмирање Графикон редот

Опис

Проблемот „Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез“ вели дека ви е дадена квадратна шаховска табла со димензии N x N, координати на фирмата Витез и целна ќелија. Откријте минимален број чекори преземени од страна на Најт парчето за да стигнете до целната ќелија.

Најт чекори: Според правилата на шахот, еден витез поместува 2 квадрати во една насока & 1 квадрат во нормала (или обратно).

пример

(kx,ky) = (1,1) & (tx,ty) = (15,15)
Minimum number of moves = 10
(kx,ky) = (2,8) & (tx,ty) = (8,4)
Minimum number of moves = 4
(kx,ky) = (2,8) & (tx,ty) = (8,4)
Minimum number of moves = 4

Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез

 

Видови на решение

  1. Прво пребарување на ширина

  2. Динамичко програмирање

Прво пребарување на ширина

Пристап

Идејата е да се изврши BFS почнувајќи од почетната позиција на Витезот. Продолжуваме до сите следни ќелии (и нивните следни ќелии) итеративно од дадена позиција (или координати), секоја од следните ќелии се посетува во Витешки чекори начин. Преминувањето се изведува со помош на редицата BFS, секој јазол на редицата ги складира координатите на ќелијата што се среќаваат за време на пресекот на BFS заедно со бројот на чекори преземени за да се стигне до таа одредена ќелија. Откако ќе се појави целната ќелија од редот BFS, вредноста на бројот на чекори е потребниот одговор.

Алгоритам

1. Define a class that has following data variables:
    1. x: to store x-coordinate of the cell.
    2. y: to store y-coordinate of the cell.
    3. steps: number of steps required to reach that cell starting from co-ordinates of the Knight.
2. Create a BFS queue that stores class objects as nodes.
3. Begin the Iterative BFS traversal.
4. In every step of the iterative traversal, pop a node from the queue. say,the node is front.
5. If the cell at coordinates (front.y, front.x) is the target cell, return the value of front.steps.
    1. Else, continue the iterative traversal.

Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез

Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез

Код

Програма C ++ за да најдете минимални чекори за да ја достигнете целта од страна на витез

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// definition of queue node
class Node
{
    public:
    // y-coordinate
    int y;
    // x-coordinate
    int x;
    // number of steps to reach (y,x)
    int steps;
    
    // constructor
    Node(int i,int j,int moves)
    {
        y = i;
        x = j;
        steps = moves;
    }
};

// traversal array along rows
int dx[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
// traversal array along columns
int dy[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}; 

// BFS to return number of steps required to reach from source to target
int BFS(Node source, Node target, int N)
{
    // set to mark a cell as visited
    unordered_set <string> visited;
    // BFS queue
    queue <Node> q;
    // push the source node
    q.push(source);
    
    // BFS traversal 
    while(!q.empty())
    {
        Node front = q.front();
        q.pop(); 
        
        // if target coordinate is reached
        if(front.y == target.y && front.x == target.x)
        return front.steps;
        
        // traverse all neighbors of current cell
        for(int i=0;i<8;i++)
        {
            int next_y = front.y + dy[i];
            int next_x = front.x + dx[i];
            
            // store coordinates of a cell as string
            string search = to_string(next_y) + '|' + to_string(next_x);
            
            // move to neighbor cell if it is not visited lies within the N x N chessboard
            if(visited.find(search) == visited.end() && next_y > 0 && next_x > 0 && next_y <= N && next_x <= N)
            {
                Node next(next_y,next_x,front.steps+1);
                q.push(next);
                visited.insert(search);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    // dimensions of the square chessboard
    int N = 8;
    // coordinates of source & target cell
    Node source(2,8,0), target(8,4,-1);
    cout<<"Number of steps : "<<BFS(source,target,N)<<endl;
    return 0;
}
Number of steps : 4

Јава програма за наоѓање на минимални чекори за постигнување на целта од страна на витез

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup 
{
    // definition of queue node
    static class Node
    {
        // y-coordinate
        int y;
        // x-coordinate
        int x;
        // number of steps to reach (y,x)
        int steps;
        
        // constructor
        Node(int i,int j,int moves)
        {
            y = i;
            x = j;
            steps = moves;
        }
    };
    
    // traversal array along rows
    static int dx[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
    // traversal array along columns
    static int dy[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}; 
    
    // BFS to return number of steps required to reach from source to target
    static int BFS(Node source, Node target, int N)
    {
        // set to mark a cell as visited
        HashSet <String> visited = new HashSet<>();
        // BFS queue
        Queue <Node> q = new LinkedList<>();
        // push the source node
        q.add(source);
        
        // BFS traversal 
        while(!q.isEmpty())
        {
            Node front = q.poll();
            
            // if target coordinate is reached
            if(front.y == target.y && front.x == target.x)
            return front.steps;
            
            // traverse all neighbors of current cell
            for(int i=0;i<8;i++)
            {
                int next_y = front.y + dy[i];
                int next_x = front.x + dx[i];
                
                // store coordinates of a cell as string
                String search = next_y + "|" + next_x;
                
                // move to neighbor cell if it is not visited lies within the N x N chessboard
                if(visited.contains(search) == false && next_y > 0 && next_x > 0 && next_y <= N && next_x <= N)
                {
                    Node next = new Node(next_y,next_x,front.steps+1);
                    q.add(next);
                    visited.add(search);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    public static void main (String[] args)
    {
        // dimensions of the square chessboard
        int N = 8;
        // coordinates of source & target cell
        Node source = new Node(2,8,0);
        Node target = new Node(8,4,-1);
        System.out.println("Number of steps : "+BFS(source,target,N));
    }
}
Number of steps : 4

Анализа на сложеност

  1. Временска комплексност: T (n) = O (N ^ 2)
    Затоа што имаме квадратна матрица и во најлош случај. Така можеби ќе треба да се справиме со секоја од клетките. И така се постигнува квадратна сложеност во времето.
  2. Вселенска комплексност: A (n) = O (N ^ 2)
    Тука користевме BFS, поради што алгоритмот има полиномна просторна сложеност.

Динамичко програмирање

Пристап

Разгледајте ги точките подолу за да го разберете пристапот на проблемот:

Размислете за претпоставките дадени подолу:

  1. Шаховската табла е стандарден квадрат N x N.
  2. kx & ky се координатите на Витезот.
  3. tx & ty се координатите на Целната ќелија.

 

Нелинеарни позиции : Ако витезот и целната ќелија се наоѓаат по различни редови и колони. односно kx не = tx & ky не = тај

  1. пр: (kx, ky) = (3,3) & (tx, ty) = (6,6)
  2. Само 2 чекори се движат кон целта, а тоа се:
    • (3,3) -> (4,5) и (3,3) -> (5,4)
  3. Значи, користејќи динамично програмирање, minSteps {(3,3) до (6,6)} = 1 + [minSteps {(4,5) до (6,6)} or мин чекори {(5,4) до (6,6)}]

Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез

Линеарни позиции : Ако витезот и целната ќелија се наоѓаат по истиот ред или колоните. т.е било kx = tx or ky = ty.

  1. пр: (kx, ky) = (2,4) & (tx, ty) = (7,4)
  2. Вкупно има 4 чекори што се движат кон целта, а тоа се:
    • (2,4) -> (4,5) и (2,4) -> (4,3), двата чекори се еквивалентни
    • (2,4) -> (3,6) и (2,4) -> (3,2), двата чекори се еквивалентни
  3. Значи, користејќи динамично програмирање, minSteps {(2,4) до (7,4)} = 1 + мин[мин чекори {(2,4) до (4,5)} , мин чекори {(2,4) до (3,6)}].

Минимални чекори за да стигнете до целта од страна на витез

Случаи во агол : Ако било кој од Најт или Цел е на аголот и [abs(kx-tx) , апс(ky-ty)] = [1,1]. Тогаш минималните чекори за да се постигне целта ќе бидат 4.

Следната парче код ги означува основните случаи:

Основни случаи : за основните случаи се дискутира подолу:

Следната парче код ги означува основните случаи:

на Динамичко програмирање Станува равенка со употреба на табела:

  1. табела [апс (kx - tx)] [апс (ky - ty)] = минимален број чекори што треба да се достигнат од позицијата на витез (kx, ky) до целната позиција (tx, ty).
  2. табела [апс (kx - tx)] [апс (ky - ty)] = табела [апс (ky - ty)] [апс (kx - tx)].

Алгоритам

1. Define the solution for corner cases. i.e. when the knight or target are at 4 corners of the board and difference in their positions are (1,1). The minimum number of moves from source to target is 4. These positions are depicted below:
2. Define the base cases as discussed below:
    1. when the Knight & target are at adjacent squares (along the same row/column), minimum number of moves required to reach the destination is 3.
    2. when the Knight & target are at adjacent squares but lie diagonally to each other, minimum number of moves required to reach the destinations is 2.
    3. when Knight & target are at positions as depicted in the image, minimum number of moves required to reach destination is 1.
    4. If the Knight & target are at same position, minimum number of moves required is 0.
3. For any other case, refer Linear Positions & Non-Linear Positions in the approach section.

Код

Програма C ++ за да најдете минимални чекори за да ја достигнете целта од страна на витез

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int minStepsRecur(int kx, int ky, int tx, int ty, vector<vector<int>>& table) 
{ 
    // when Knight & Target are at same position
    if (kx == tx && ky == ty) 
        return table[0][0];
    
    else 
    { 
        // if value in the table has been calculated already
        if (table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)] != 0) 
            return table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)]; 
            
        // Linear Positions
        /* Knight can move to -->2 different squares<-- that goes towards the Target */
        
        // Non-Linear Positions
        /* Knight can move to 4 different squares that 
        goes towards the Target of which -->2 are equivalent<-- */
        
        // For every position of Knight & Target 
        // there are 2 different positions i.e. (x1,y1) & (x2,y2), the Knight can move to. 
        else 
        { 
  
            int x1, y1, x2, y2; 
              
            // the values of (x1,y1) & (x2,y2) depend upon relative positions of Knight & Target
            // (x1,y1) & (x2,y2) are midway between (kx,ky) & (tx,ty)
            // Their calculations are made accordingly
            if (kx <= tx) 
            { 
                if (ky <= ty) 
                { 
                    x1 = kx + 2; 
                    y1 = ky + 1; 
                    x2 = kx + 1; 
                    y2 = ky + 2; 
                } 
                else 
                { 
                    x1 = kx + 2; 
                    y1 = ky - 1; 
                    x2 = kx + 1; 
                    y2 = ky - 2; 
                } 
            } 
            
            else 
            { 
                if (ky <= ty) 
                { 
                    x1 = kx - 2; 
                    y1 = ky + 1; 
                    x2 = kx - 1; 
                    y2 = ky + 2; 
                } 
                else 
                { 
                    x1 = kx - 2; 
                    y1 = ky - 1; 
                    x2 = kx - 1; 
                    y2 = ky - 2; 
                } 
            } 
              
            // The minimum steps from (kx,ky) to (tx,ty) = 1 + minimum of steps from (x1, y1) to (x2, y2). 
            table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)] = 1 + min(minStepsRecur(x1, y1, tx, ty, table),minStepsRecur(x2, y2, tx, ty, table)); 
                             
            // exchanging the coordinates x with y of both knight and target will result in same min moves. 
            table[abs(ky - ty)][abs(kx - tx)] = table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)];
            
            return table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)]; 
        } 
    } 
} 

int minSteps(int kx, int ky, int tx, int ty, int n)
{
    // Corner Cases
    if ((kx == 1 && ky == 1 && tx == 2 && ty == 2) || (kx == 2 && ky == 2 && tx == 1 && ty == 1)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == 1 && ky == n && tx == 2 && ty == n - 1) || (kx == 2 && ky == n - 1 && tx == 1 && ty == n)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == n && ky == 1 && tx == n - 1 && ty == 2) || (kx == n - 1 && ky == 2 && tx == n && ty == 1)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == n && ky == n && tx == n - 1 && ty == n - 1) || (kx == n - 1 && ky == n - 1 && tx == n && ty == n)) 
        return 4;
    
    else 
    {
        vector <int> row(20,0);
        vector <vector<int>> table;
        

        for(int i=0; i<20; i++)
        table.push_back(row);
        
        // Base Cases
        table[2][1] = 1; 
        table[1][2] = 1; 
        
        table[1][1] = 2; 
        table[2][0] = 2; 
        table[0][2] = 2;
        
        table[1][0] = 3; 
        table[0][1] = 3; 
        
       
        // Linear & Non-Linear positions
        return minStepsRecur(kx, ky, tx, ty, table);
    } 
}

int main()
{
    int n = 8;
    int kx = 2, ky = 8, tx = 8, ty = 4;
    
    cout<<"Number of steps : "<<minSteps(kx,ky,tx,ty,n)<<endl;
    return 0;
}
Number of steps : 4

Јава програма за наоѓање на минимални чекори за постигнување на целта од страна на витез

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup
{
    static int minStepsRecur(int kx, int ky, int tx, int ty, int [][] table) 
    { 
        // when Knight & Target are at same position
        if (kx == tx && ky == ty) 
            return table[0][0];
        
        else 
        { 
            // if value in the table has been calculated already
            if (table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)] != 0) 
                return table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)]; 
                
            // Linear Positions
            /* Knight can move to -->2 different squares<-- that goes towards the Target */
            
            // Non-Linear Positions
            /* Knight can move to 4 different squares that 
            goes towards the Target of which -->2 are equivalent<-- */
            
            // For every position of Knight & Target 
            // there are 2 different positions i.e. (x1,y1) & (x2,y2), the Knight can move to. 
            else 
            { 
      
                int x1, y1, x2, y2; 
                  
                // the values of (x1,y1) & (x2,y2) depend upon relative positions of Knight & Target
                // (x1,y1) & (x2,y2) are midway between (kx,ky) & (tx,ty)
                // Their calculations are made accordingly
                if (kx <= tx) 
                { 
                    if (ky <= ty) 
                    { 
                        x1 = kx + 2; 
                        y1 = ky + 1; 
                        x2 = kx + 1; 
                        y2 = ky + 2; 
                    } 
                    else 
                    { 
                        x1 = kx + 2; 
                        y1 = ky - 1; 
                        x2 = kx + 1; 
                        y2 = ky - 2; 
                    } 
                } 
                
                else 
                { 
                    if (ky <= ty) 
                    { 
                        x1 = kx - 2; 
                        y1 = ky + 1; 
                        x2 = kx - 1; 
                        y2 = ky + 2; 
                    } 
                    else 
                    { 
                        x1 = kx - 2; 
                        y1 = ky - 1; 
                        x2 = kx - 1; 
                        y2 = ky - 2; 
                    } 
                } 
                  
                // The minimum steps from (kx,ky) to (tx,ty) = 1 + minimum of steps from (x1, y1) to (x2, y2). 
                table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)] = 1 + Math.min(minStepsRecur(x1, y1, tx, ty, table),minStepsRecur(x2, y2, tx, ty, table)); 
                                 
                // exchanging the coordinates x with y of both knight and target will result in same min moves. 
                table[Math.abs(ky - ty)][Math.abs(kx - tx)] = table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)];
                
                return table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)]; 
            } 
        } 
    } 

    static int minSteps(int kx, int ky, int tx, int ty, int n)
    {
        // Corner Cases
        if ((kx == 1 && ky == 1 && tx == 2 && ty == 2) || (kx == 2 && ky == 2 && tx == 1 && ty == 1)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == 1 && ky == n && tx == 2 && ty == n - 1) || (kx == 2 && ky == n - 1 && tx == 1 && ty == n)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == n && ky == 1 && tx == n - 1 && ty == 2) || (kx == n - 1 && ky == 2 && tx == n && ty == 1)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == n && ky == n && tx == n - 1 && ty == n - 1) || (kx == n - 1 && ky == n - 1 && tx == n && ty == n)) 
            return 4;
        
        else 
        {
            int [][] table = new int[20][20];
            
            // Base Cases
            table[2][1] = 1; 
            table[1][2] = 1; 
            
            table[1][1] = 2; 
            table[2][0] = 2; 
            table[0][2] = 2;
            
            table[1][0] = 3; 
            table[0][1] = 3; 
            
           
            // Linear & Non-Linear positions
            return minStepsRecur(kx, ky, tx, ty, table);
        } 
    }
    
    public static void main (String[] args) 
    {
        int n = 8;
        int kx = 2, ky = 8, tx = 8, ty = 4;
        
        System.out.println("Number of steps : "+minSteps(kx,ky,tx,ty,n));
    }
}
Number of steps : 4

Анализа на сложеност

  1. Временска комплексност: T (n) = O [апс ( (kx-tx) * (ky-ty) )]
    Бидејќи се занимаваме само со клетките кои доаѓаат во подматриксот формиран од почетната и дестинациската ќелија. Значи, иако ова решение има и квадратна временска сложеност слична на горенаведеното решение.
  2. Комплексноста на просторот: A (n) = O [апс ( (kx-tx) * (ky-ty) )]

каде,

  1. (kx, ky) = позиција на Најт
  2. (tx, ty) = позиција на Целна ќелија