Минимальные шаги для достижения цели рыцарем


Сложный уровень Жесткий
Часто спрашивают в Амазонка LinkedIn MakeMyTrip
Поиск в ширину Динамическое программирование График Очередь

Описание

Задача «Минимальные шаги для достижения цели конем» гласит, что вам дана квадратная шахматная доска размером N x N, координаты фигуры коня и целевой клетки. Узнайте минимальное количество шагов, сделанных фигурой Рыцаря, чтобы достичь целевой клетки.

Рыцарские шаги: Согласно правилам шахмат, конь перемещается на 2 клетки в одном направлении и на 1 клетку в перпендикулярном направлении (или наоборот).

Пример

(kx,ky) = (1,1) & (tx,ty) = (15,15)
Minimum number of moves = 10
(kx,ky) = (2,8) & (tx,ty) = (8,4)
Minimum number of moves = 4
(kx,ky) = (2,8) & (tx,ty) = (8,4)
Minimum number of moves = 4

Минимальные шаги для достижения цели рыцарем

 

Типы решений

  1. Поиск в ширину

  2. Динамическое программирование

Поиск в ширину

Подход

Идея состоит в том, чтобы выполнить BFS начиная с начальной позиции коня. Мы переходим ко всем следующим ячейкам (и их следующим ячейкам) итеративно из заданной позиции (или координат), каждая из следующих ячеек посещается в Шаги рыцаря манера. Обход выполняется с использованием очереди BFS, каждый узел очереди хранит координаты ячейки, встреченной во время обхода BFS, а также количество шагов, предпринятых для достижения этой конкретной ячейки. Как только целевая ячейка выталкивается из очереди BFS, значение количества шагов является требуемым ответом.

Алгоритм

1. Define a class that has following data variables:
    1. x: to store x-coordinate of the cell.
    2. y: to store y-coordinate of the cell.
    3. steps: number of steps required to reach that cell starting from co-ordinates of the Knight.
2. Create a BFS queue that stores class objects as nodes.
3. Begin the Iterative BFS traversal.
4. In every step of the iterative traversal, pop a node from the queue. say,the node is front.
5. If the cell at coordinates (front.y, front.x) is the target cell, return the value of front.steps.
    1. Else, continue the iterative traversal.

Минимальные шаги для достижения цели рыцарем

Минимальные шаги для достижения цели рыцарем

Код:

Программа на C ++ для поиска минимальных шагов для достижения цели рыцарем

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// definition of queue node
class Node
{
    public:
    // y-coordinate
    int y;
    // x-coordinate
    int x;
    // number of steps to reach (y,x)
    int steps;
    
    // constructor
    Node(int i,int j,int moves)
    {
        y = i;
        x = j;
        steps = moves;
    }
};

// traversal array along rows
int dx[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
// traversal array along columns
int dy[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}; 

// BFS to return number of steps required to reach from source to target
int BFS(Node source, Node target, int N)
{
    // set to mark a cell as visited
    unordered_set <string> visited;
    // BFS queue
    queue <Node> q;
    // push the source node
    q.push(source);
    
    // BFS traversal 
    while(!q.empty())
    {
        Node front = q.front();
        q.pop(); 
        
        // if target coordinate is reached
        if(front.y == target.y && front.x == target.x)
        return front.steps;
        
        // traverse all neighbors of current cell
        for(int i=0;i<8;i++)
        {
            int next_y = front.y + dy[i];
            int next_x = front.x + dx[i];
            
            // store coordinates of a cell as string
            string search = to_string(next_y) + '|' + to_string(next_x);
            
            // move to neighbor cell if it is not visited lies within the N x N chessboard
            if(visited.find(search) == visited.end() && next_y > 0 && next_x > 0 && next_y <= N && next_x <= N)
            {
                Node next(next_y,next_x,front.steps+1);
                q.push(next);
                visited.insert(search);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    // dimensions of the square chessboard
    int N = 8;
    // coordinates of source & target cell
    Node source(2,8,0), target(8,4,-1);
    cout<<"Number of steps : "<<BFS(source,target,N)<<endl;
    return 0;
}
Number of steps : 4

Программа на Java для поиска минимальных шагов для достижения цели рыцарем

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup 
{
    // definition of queue node
    static class Node
    {
        // y-coordinate
        int y;
        // x-coordinate
        int x;
        // number of steps to reach (y,x)
        int steps;
        
        // constructor
        Node(int i,int j,int moves)
        {
            y = i;
            x = j;
            steps = moves;
        }
    };
    
    // traversal array along rows
    static int dx[] = {-2, -1, 1, 2, -2, -1, 1, 2};
    // traversal array along columns
    static int dy[] = {-1, -2, -2, -1, 1, 2, 2, 1}; 
    
    // BFS to return number of steps required to reach from source to target
    static int BFS(Node source, Node target, int N)
    {
        // set to mark a cell as visited
        HashSet <String> visited = new HashSet<>();
        // BFS queue
        Queue <Node> q = new LinkedList<>();
        // push the source node
        q.add(source);
        
        // BFS traversal 
        while(!q.isEmpty())
        {
            Node front = q.poll();
            
            // if target coordinate is reached
            if(front.y == target.y && front.x == target.x)
            return front.steps;
            
            // traverse all neighbors of current cell
            for(int i=0;i<8;i++)
            {
                int next_y = front.y + dy[i];
                int next_x = front.x + dx[i];
                
                // store coordinates of a cell as string
                String search = next_y + "|" + next_x;
                
                // move to neighbor cell if it is not visited lies within the N x N chessboard
                if(visited.contains(search) == false && next_y > 0 && next_x > 0 && next_y <= N && next_x <= N)
                {
                    Node next = new Node(next_y,next_x,front.steps+1);
                    q.add(next);
                    visited.add(search);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    public static void main (String[] args)
    {
        // dimensions of the square chessboard
        int N = 8;
        // coordinates of source & target cell
        Node source = new Node(2,8,0);
        Node target = new Node(8,4,-1);
        System.out.println("Number of steps : "+BFS(source,target,N));
    }
}
Number of steps : 4

Анализ сложности

  1. Сложность времени: T (n) = O (N ^ 2)
    Потому что у нас матрица квадратная и в худшем случае. Таким образом, нам, возможно, придется иметь дело с каждой из ячеек. Так достигается квадратичная временная сложность.
  2. Сложность пространства: A (n) = O (N ^ 2)
    Здесь мы использовали BFS, из-за чего алгоритм имеет полиномиальную пространственную сложность.

Динамическое программирование

Подход

Чтобы понять подход к проблеме, обратите внимание на следующие моменты:

Рассмотрим предположения, сделанные ниже:

  1. Шахматная доска представляет собой стандартный квадрат N x N.
  2. kx & ky - координаты Рыцаря.
  3. tx & ty - координаты целевой ячейки.

 

Нелинейные позиции : Если рыцарь и целевая ячейка находятся в разных строках и столбцах. т.е. kx не = tx & ky не = ти.

  1. пример: (kx, ky) = (3,3) & (tx, ty) = (6,6)
  2. К цели двигаются только 2 шага, а именно:
    • (3,3) -> (4,5) и (3,3) -> (5,4)
  3. Итак, используя динамическое программирование, minSteps {(3,3) до (6,6)} = 1 + [minSteps {(4,5) до (6,6)} or minSteps {(5,4) до (6,6)}]

Минимальные шаги для достижения цели рыцарем

Линейные позиции : Если рыцарь и целевая ячейка находятся в одной строке или столбцах. то есть либо kx = tx or ky = ty.

  1. пример: (kx, ky) = (2,4) & (tx, ty) = (7,4)
  2. Всего есть 4 шага к цели, а именно:
    • (2,4) -> (4,5) и (2,4) -> (4,3), оба эти шага эквивалентны
    • (2,4) -> (3,6) и (2,4) -> (3,2), оба эти шага эквивалентны
  3. Итак, используя динамическое программирование, minSteps {(2,4) до (7,4)} = 1 + мин[minSteps {(2,4) до (4,5)} , minSteps {(2,4) до (3,6)}].

Минимальные шаги для достижения цели рыцарем

Угловые шкафы : Если рыцарь или цель находятся в углу и [ABS(kх-тх) , абс(ky-ty)] = [1,1]. Тогда минимальное количество шагов для достижения цели составит 4.

Следующий фрагмент кода обозначает базовые случаи:

Базовые случаи : базовые случаи обсуждаются ниже:

Следующий фрагмент кода обозначает базовые случаи:

Была основана Динамическое программирование Уравнение с использованием табуляции становится:

  1. таблица [abs (kx - tx)] [abs (ky - ty)] = минимальное количество шагов для перехода от позиции коня (kx, ky) до целевой позиции (tx, ty).
  2. таблица [abs (kx - tx)] [abs (ky - ty)] = таблица [abs (ky - ty)] [abs (kx - tx)].

Алгоритм

1. Define the solution for corner cases. i.e. when the knight or target are at 4 corners of the board and difference in their positions are (1,1). The minimum number of moves from source to target is 4. These positions are depicted below:
2. Define the base cases as discussed below:
    1. when the Knight & target are at adjacent squares (along the same row/column), minimum number of moves required to reach the destination is 3.
    2. when the Knight & target are at adjacent squares but lie diagonally to each other, minimum number of moves required to reach the destinations is 2.
    3. when Knight & target are at positions as depicted in the image, minimum number of moves required to reach destination is 1.
    4. If the Knight & target are at same position, minimum number of moves required is 0.
3. For any other case, refer Linear Positions & Non-Linear Positions in the approach section.

Код:

Программа на C ++ для поиска минимальных шагов для достижения цели рыцарем

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int minStepsRecur(int kx, int ky, int tx, int ty, vector<vector<int>>& table) 
{ 
    // when Knight & Target are at same position
    if (kx == tx && ky == ty) 
        return table[0][0];
    
    else 
    { 
        // if value in the table has been calculated already
        if (table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)] != 0) 
            return table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)]; 
            
        // Linear Positions
        /* Knight can move to -->2 different squares<-- that goes towards the Target */
        
        // Non-Linear Positions
        /* Knight can move to 4 different squares that 
        goes towards the Target of which -->2 are equivalent<-- */
        
        // For every position of Knight & Target 
        // there are 2 different positions i.e. (x1,y1) & (x2,y2), the Knight can move to. 
        else 
        { 
  
            int x1, y1, x2, y2; 
              
            // the values of (x1,y1) & (x2,y2) depend upon relative positions of Knight & Target
            // (x1,y1) & (x2,y2) are midway between (kx,ky) & (tx,ty)
            // Their calculations are made accordingly
            if (kx <= tx) 
            { 
                if (ky <= ty) 
                { 
                    x1 = kx + 2; 
                    y1 = ky + 1; 
                    x2 = kx + 1; 
                    y2 = ky + 2; 
                } 
                else 
                { 
                    x1 = kx + 2; 
                    y1 = ky - 1; 
                    x2 = kx + 1; 
                    y2 = ky - 2; 
                } 
            } 
            
            else 
            { 
                if (ky <= ty) 
                { 
                    x1 = kx - 2; 
                    y1 = ky + 1; 
                    x2 = kx - 1; 
                    y2 = ky + 2; 
                } 
                else 
                { 
                    x1 = kx - 2; 
                    y1 = ky - 1; 
                    x2 = kx - 1; 
                    y2 = ky - 2; 
                } 
            } 
              
            // The minimum steps from (kx,ky) to (tx,ty) = 1 + minimum of steps from (x1, y1) to (x2, y2). 
            table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)] = 1 + min(minStepsRecur(x1, y1, tx, ty, table),minStepsRecur(x2, y2, tx, ty, table)); 
                             
            // exchanging the coordinates x with y of both knight and target will result in same min moves. 
            table[abs(ky - ty)][abs(kx - tx)] = table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)];
            
            return table[abs(kx - tx)][abs(ky - ty)]; 
        } 
    } 
} 

int minSteps(int kx, int ky, int tx, int ty, int n)
{
    // Corner Cases
    if ((kx == 1 && ky == 1 && tx == 2 && ty == 2) || (kx == 2 && ky == 2 && tx == 1 && ty == 1)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == 1 && ky == n && tx == 2 && ty == n - 1) || (kx == 2 && ky == n - 1 && tx == 1 && ty == n)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == n && ky == 1 && tx == n - 1 && ty == 2) || (kx == n - 1 && ky == 2 && tx == n && ty == 1)) 
        return 4; 
    
    else if ((kx == n && ky == n && tx == n - 1 && ty == n - 1) || (kx == n - 1 && ky == n - 1 && tx == n && ty == n)) 
        return 4;
    
    else 
    {
        vector <int> row(20,0);
        vector <vector<int>> table;
        

        for(int i=0; i<20; i++)
        table.push_back(row);
        
        // Base Cases
        table[2][1] = 1; 
        table[1][2] = 1; 
        
        table[1][1] = 2; 
        table[2][0] = 2; 
        table[0][2] = 2;
        
        table[1][0] = 3; 
        table[0][1] = 3; 
        
       
        // Linear & Non-Linear positions
        return minStepsRecur(kx, ky, tx, ty, table);
    } 
}

int main()
{
    int n = 8;
    int kx = 2, ky = 8, tx = 8, ty = 4;
    
    cout<<"Number of steps : "<<minSteps(kx,ky,tx,ty,n)<<endl;
    return 0;
}
Number of steps : 4

Программа на Java для поиска минимальных шагов для достижения цели рыцарем

import java.util.*;
import java.io.*;

class TutorialCup
{
    static int minStepsRecur(int kx, int ky, int tx, int ty, int [][] table) 
    { 
        // when Knight & Target are at same position
        if (kx == tx && ky == ty) 
            return table[0][0];
        
        else 
        { 
            // if value in the table has been calculated already
            if (table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)] != 0) 
                return table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)]; 
                
            // Linear Positions
            /* Knight can move to -->2 different squares<-- that goes towards the Target */
            
            // Non-Linear Positions
            /* Knight can move to 4 different squares that 
            goes towards the Target of which -->2 are equivalent<-- */
            
            // For every position of Knight & Target 
            // there are 2 different positions i.e. (x1,y1) & (x2,y2), the Knight can move to. 
            else 
            { 
      
                int x1, y1, x2, y2; 
                  
                // the values of (x1,y1) & (x2,y2) depend upon relative positions of Knight & Target
                // (x1,y1) & (x2,y2) are midway between (kx,ky) & (tx,ty)
                // Their calculations are made accordingly
                if (kx <= tx) 
                { 
                    if (ky <= ty) 
                    { 
                        x1 = kx + 2; 
                        y1 = ky + 1; 
                        x2 = kx + 1; 
                        y2 = ky + 2; 
                    } 
                    else 
                    { 
                        x1 = kx + 2; 
                        y1 = ky - 1; 
                        x2 = kx + 1; 
                        y2 = ky - 2; 
                    } 
                } 
                
                else 
                { 
                    if (ky <= ty) 
                    { 
                        x1 = kx - 2; 
                        y1 = ky + 1; 
                        x2 = kx - 1; 
                        y2 = ky + 2; 
                    } 
                    else 
                    { 
                        x1 = kx - 2; 
                        y1 = ky - 1; 
                        x2 = kx - 1; 
                        y2 = ky - 2; 
                    } 
                } 
                  
                // The minimum steps from (kx,ky) to (tx,ty) = 1 + minimum of steps from (x1, y1) to (x2, y2). 
                table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)] = 1 + Math.min(minStepsRecur(x1, y1, tx, ty, table),minStepsRecur(x2, y2, tx, ty, table)); 
                                 
                // exchanging the coordinates x with y of both knight and target will result in same min moves. 
                table[Math.abs(ky - ty)][Math.abs(kx - tx)] = table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)];
                
                return table[Math.abs(kx - tx)][Math.abs(ky - ty)]; 
            } 
        } 
    } 

    static int minSteps(int kx, int ky, int tx, int ty, int n)
    {
        // Corner Cases
        if ((kx == 1 && ky == 1 && tx == 2 && ty == 2) || (kx == 2 && ky == 2 && tx == 1 && ty == 1)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == 1 && ky == n && tx == 2 && ty == n - 1) || (kx == 2 && ky == n - 1 && tx == 1 && ty == n)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == n && ky == 1 && tx == n - 1 && ty == 2) || (kx == n - 1 && ky == 2 && tx == n && ty == 1)) 
            return 4; 
        
        else if ((kx == n && ky == n && tx == n - 1 && ty == n - 1) || (kx == n - 1 && ky == n - 1 && tx == n && ty == n)) 
            return 4;
        
        else 
        {
            int [][] table = new int[20][20];
            
            // Base Cases
            table[2][1] = 1; 
            table[1][2] = 1; 
            
            table[1][1] = 2; 
            table[2][0] = 2; 
            table[0][2] = 2;
            
            table[1][0] = 3; 
            table[0][1] = 3; 
            
           
            // Linear & Non-Linear positions
            return minStepsRecur(kx, ky, tx, ty, table);
        } 
    }
    
    public static void main (String[] args) 
    {
        int n = 8;
        int kx = 2, ky = 8, tx = 8, ty = 4;
        
        System.out.println("Number of steps : "+minSteps(kx,ky,tx,ty,n));
    }
}
Number of steps : 4

Анализ сложности

  1. Сложность времени: T (n) = O [абс ( (kx-tx) * (ky-ty) )]
    Потому что мы имеем дело только с ячейками, которые входят в подматрицу, образованную начальной и целевой ячейкой. Таким образом, хотя это решение также имеет квадратичную временную сложность, аналогичную приведенному выше решению.
  2. Космическая сложность: A (n) = O [абс ( (kx-tx) * (ky-ty) )]

где,

  1. (kx, ky) = позиция коня
  2. (tx, ty) = позиция целевой ячейки