Слияние двух сбалансированных двоичных деревьев поиска


Сложный уровень Жесткий
Часто спрашивают в Амазонка GE Healthcare Google Microsoft Salesforce Spotify
Двоичное дерево поиска Двоичное дерево дерево

Постановка задачи

Учитывая два сбалансированных двоичных дерева поиска, в первом BST есть n элементов, а во втором BST - m элементов. Напишите алгоритм объединения двух сбалансированных двоичных деревьев поиска для формирования третьего сбалансированного дерева. Двоичное дерево поиска с (n + m) элементами.

Пример

вход

Слияние двух сбалансированных двоичных деревьев поискаСлияние двух сбалансированных двоичных деревьев поиска

Результат

Слияние двух сбалансированных двоичных деревьев поиска

Предзаказ: 5 2 1 3 4 7 6 8 9

Алгоритм объединения двух двоичных деревьев поиска

Поначалу кажется, что вставка всех элементов из tree2 в tree1 по одному - лучшее решение. Но это решение имеет временную сложность O (п журнал (п)), есть решение, которое может быть лучше этого.
Теперь мы знаем, как преобразовать отсортированный массив в сбалансированное двоичное дерево, и мы собираемся свести данную проблему к этой проблеме.

Идея состоит в том, чтобы сохранить обход обоих деревьев в двух массивах, скажем, arr1 и arr2 соответственно. Теперь мы создаем еще один массив, который содержит все элементы arr1 и arr2, объединенные вместе в отсортированном виде. Два отсортированных массива можно объединить, чтобы сформировать новый отсортированный массив с линейной временной сложностью. Затем мы преобразуем отсортированный массив в сбалансированное двоичное дерево поиска, поэтому два дерева объединяются.

1. Store the in-order traversal of both the trees in two arrays, say, arr1 and arr2 respectively.
2. Merge arr1 and arr2 to form another array arr, that contains the elements of arr1 and arr2 in sorted form.
3. We now use this sorted array(arr) to build a balanced binary search tree, which is a merged version of the given trees.
4. The middle element of the array forms the root of the balanced BST and all the elements to the left of the middle element form the left sub-tree and all the elements to the right of the middle element form the right sub-tree.
5. Recursively do step 4 for the left subtree and attach it to the left of root.
6. Recursively do step 4 for the right subtree and attach it to the right of root.
7. Return root.

 

Сложность времени = О (п + м)

Поскольку мы нашли обход первого и второго массива по порядку, это считается для O (N + M). Затем слияние этих двух отсортированных массивов снова учитывает временную сложность O (n + m). И создание нового сбалансированного двоичного дерева поиска также занимает O (n + m) времени. Таким образом, вполне можно сказать, что решение имеет линейную временную сложность.

Космическая сложность = НА) 

Здесь для этой проблемы у нас есть линейная пространственная сложность. Поскольку мы сохранили три массива, один размер n, второй по размеру m, и после объединения этих отсортированных массивов. Снова у нас есть отсортированный массив размеров п + м. После этого, когда мы сделаем окончательное дерево, мы будем иметь дело только с п + т узлы. Таким образом, сложность линейного пространства = O (N).

n -> количество узлов в tree1
m -> количество узлов в tree2

Код:

Код JAVA для объединения двух BST

import java.util.ArrayList;

class MergeTwoBalancedBinarySearchTrees {
    // class representing node of a binary tree
    static class Node {
        int data;
        Node left, right;

        public Node(int data) {
            this.data = data;
        }
    }

    // function to print pre-order traversal of a binary tree
    private static void preOrder(Node root) {
        if (root != null) {
            System.out.print(root.data + " ");
            preOrder(root.left);
            preOrder(root.right);
        }
    }

    // function to store in-order traversal of a binary tree in an array-list
    private static void storeInOrder(Node root, ArrayList<Integer> arr) {
        if (root != null) {
            storeInOrder(root.left, arr);
            arr.add(root.data);
            storeInOrder(root.right, arr);
        }
    }

    // function to merge two sorted array-lists
    private static ArrayList<Integer> mergeSortedArrays(ArrayList<Integer> arr1, ArrayList<Integer> arr2) {
        int i = 0, j = 0;
        ArrayList<Integer> arr = new ArrayList<>();

        while (i < arr1.size() && j < arr2.size()) {
            if (arr1.get(i) < arr2.get(j)) {
                arr.add(arr1.get(i));
                i++;
            } else {
                arr.add(arr2.get(j));
                j++;
            }
        }

        while (i < arr1.size()) {
            arr.add(arr1.get(i));
            i++;
        }

        while (j < arr2.size()) {
            arr.add(arr2.get(j));
            j++;
        }

        return arr;
    }

    // function to convert sorted array-list to balanced BST
    private static Node constructBSTFromSortedArray(ArrayList<Integer> arr, int start, int end) {
        // base case
        if (start > end) {
            return null;
        }

        int mid = (start + end) / 2;

        Node root = new Node(arr.get(mid));
        root.left = constructBSTFromSortedArray(arr, start, mid - 1);
        root.right = constructBSTFromSortedArray(arr, mid + 1, end);

        return root;
    }

    private static Node mergeBST(Node root1, Node root2) {
        // store the in-order traversal of tree1 in an array
        ArrayList<Integer> arr1 = new ArrayList<>();
        storeInOrder(root1, arr1);
        // store the in-order traversal of tree2 in an array
        ArrayList<Integer> arr2 = new ArrayList<>();
        storeInOrder(root2, arr2);

        // merge the two sorted arrays
        ArrayList<Integer> arr = mergeSortedArrays(arr1, arr2);

        // construct the balanced BST from this sorted array
        return constructBSTFromSortedArray(arr, 0, arr.size() - 1);
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Example
        Node root1 = new Node(7);
        root1.left = new Node(5);
        root1.right = new Node(8);
        root1.left.left = new Node(4);
        root1.left.right = new Node(6);
        root1.right.right = new Node(9);

        Node root2 = new Node(2);
        root2.left = new Node(1);
        root2.right = new Node(3);

        Node root = mergeBST(root1, root2);
        preOrder(root);
        System.out.println();
    }
}
5 2 1 3 4 7 6 8 9

Код C ++ для объединения двух BST

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 

// class representing node of a binary tree 
class Node { 
    public: 
    int data; 
    Node *left; 
    Node *right; 
    
    Node(int d) { 
        data = d; 
        left = right = NULL; 
    } 
};

// function to print pre-order traversal of a binary tree
void preOrder(Node *root) {
    if (root != NULL) {
        cout<<root->data<<" ";
        preOrder(root->left);
        preOrder(root->right);
    }
}

// function to store the inorder traversal of tree in a list
void storeInOrder(Node *root, vector<int> &arr) {
    if (root != NULL) {
        storeInOrder(root->left, arr);
        arr.push_back(root->data);
        storeInOrder(root->right, arr);
    }
}

// function to merge two sorted array-lists
vector<int> mergeSortedArrays(vector<int> &arr1, vector<int> &arr2) {
    int i = 0, j = 0;
    vector<int> arr;
    
    while (i < arr1.size() && j < arr2.size()) {
        if (arr1[i] < arr2[j]) {
            arr.push_back(arr1[i]);
            i++;
        } else {
            arr.push_back(arr2[j]);
            j++;
        }
    }
    
    while (i < arr1.size()) {
        arr.push_back(arr1[i]);
        i++;
    }
    
    while (j < arr2.size()) {
        arr.push_back(arr2[j]);
        j++;
    }
    
    return arr;
}

// function to convert sorted array-list to balanced BST
Node* constructBSTFromSortedArray(vector<int> &arr, int start, int end) {
    // base case
    if (start > end) {
        return NULL;
    }
    
    int mid = (start + end) / 2;
    
    Node *root = new Node(arr[mid]);
    root->left = constructBSTFromSortedArray(arr, start, mid - 1);
    root->right = constructBSTFromSortedArray(arr, mid + 1, end);

    return root;
}

Node* mergeBST(Node *root1, Node *root2) {
    // store the in-order traversal of tree1 in an array
    vector<int> arr1;
    storeInOrder(root1, arr1);
    
    // store the in-order traversal of tree2 in an array
    vector<int> arr2;
    storeInOrder(root2, arr2);
    
    // merge the two sorted arrays
    vector<int> arr = mergeSortedArrays(arr1, arr2);
    
    // construct the balanced BST from this sorted array
    return constructBSTFromSortedArray(arr, 0, arr.size() - 1);
}

int main() {
    // Example
    Node *root1 = new Node(7);
    root1->left = new Node(5);
    root1->right = new Node(8);
    root1->left->left = new Node(4);
    root1->left->right = new Node(6);
    root1->right->right = new Node(9);

    Node *root2 = new Node(2);
    root2->left = new Node(1);
    root2->right = new Node(3);

    Node *root = mergeBST(root1, root2);
    preOrder(root);
    cout<<endl;
    
    return 0;
}
5 2 1 3 4 7 6 8 9