O (మొత్తం) స్థలంలో మొత్తం సమస్య ఉపసమితి


కఠినత స్థాయి మీడియం
తరచుగా అడుగుతుంది Adobe అమెజాన్ దృష్టీ-సాఫ్ట్
అర్రే డైనమిక్ ప్రోగ్రామింగ్

సమస్యల నివేదిక

“O (sum) space లో సబ్‌సెట్ మొత్తం” సమస్య మీకు కొన్ని ప్రతికూల-కాని పూర్ణాంకాల శ్రేణిని మరియు ఒక నిర్దిష్ట విలువను ఇస్తుందని పేర్కొంది. ఇచ్చిన ఇన్పుట్ విలువకు సమానమైన ఉపసమితి ఉందా అని ఇప్పుడు కనుగొనండి.

ఉదాహరణ

Array = {1, 2, 3, 4}
targetSum = 7
The subset having sum equal to given input is possible

O (మొత్తం) స్థలంలో మొత్తం సమస్య ఉపసమితి

O (మొత్తం) స్థలంలో సబ్‌సెట్ సమ్ ప్రాబ్లమ్ కోసం అప్రోచ్

ఎవరైనా ఆలోచించగలిగే సరళమైన విధానం ఏమిటంటే అన్ని ఉపసమితులను సృష్టించడం మరియు వాటి మొత్తాన్ని తీసుకోవడం. ఇప్పుడు ఈ మొత్తం ఇచ్చిన ఇన్పుట్ మొత్తానికి సమానంగా ఉందో లేదో తనిఖీ చేయండి, సరియైనదా? విధానం సరైనది. దాని గురించి ఎటువంటి సందేహం లేదు. కానీ ఒక సమస్య ఉంది, మేము అన్ని ఉపసమితులను సమర్థవంతంగా సృష్టించలేము. ఉపసమితుల సృష్టిలో O (2 ^ N) సమయ సంక్లిష్టత ఉంది. కాబట్టి, సమస్యను పరిష్కరించడానికి మరికొన్ని సమర్థవంతమైన మార్గం గురించి మనం ఆలోచించాలి.

సరే, కాబట్టి ఈ సమస్యను ఈ విధంగా ఆలోచిద్దాం. కొన్ని ఉపసమితులు కొన్ని మొత్తాలను కలిగి ఉన్నాయని మాకు తెలుసు. ఇప్పుడు ప్రస్తుత మూలకం కోసం, మనకు ఇప్పటికే ఉన్న ఉపసమితులకు జోడించే రెండు ఎంపికలు ఉన్నాయి లేదా మేము దానిని ఉపసమితుల్లో ప్రకటన చేయము. కాబట్టి, మనం ఏమి చేయాలో ఇప్పుడు మనకు తెలుసు. సంగ్రహంగా చెప్పాలంటే, మేము మొత్తాలపై లూప్‌ను నడుపుతాము (అది 1 నుండి ఇన్‌పుట్ మొత్తం వరకు విలువల్లో ఉంటుంది). ఇది కాస్త గందరగోళంగా ఉంది కాబట్టి. మేము ఇన్పుట్ మొత్తాన్ని “టార్గెట్” అని పిలుస్తాము మరియు ప్రయాణించాల్సిన మొత్తాలు. మేము వాటిని “i” తో సూచిస్తాము. మరియు ప్రతి i కోసం, ప్రస్తుత మూలకాన్ని తీసుకోకపోతే మేము తనిఖీ చేస్తాము, “మనకు సమానమైన ఉపసమితి ఉందా?”. లేదా మేము ఈ ప్రస్తుత మూలకాన్ని తీసుకుంటే, మొత్తం మొత్తాన్ని i కి సమానంగా చేయగలమా? కాబట్టి మేము ఈ చివరి ప్రకటనను తిరిగి వ్రాయవచ్చు. ప్రస్తుత మూలకం యొక్క విలువను i నుండి తీసివేస్తే, i- ప్రస్తుత మూలకానికి సమానమైన మొత్తాన్ని కలిగి ఉన్న ఉపసమితి మనకు ఉందా?

కాబట్టి, ఇప్పుడు మనం i కి సమానమైన లేదా i- ప్రస్తుత మూలకానికి సమానమైన ఉపసమితిని ఏర్పరుచుకోగలమా అని కనుగొనాలి.

ఇప్పుడు దాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? మేము ఉపయోగిస్తాము డైనమిక్ ప్రోగ్రామింగ్ ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి. మేము 2D శ్రేణిని లేదా 0 నుండి i వరకు మూలకాలను ఉపయోగించి j కి సమానమైన మొత్తాన్ని కలిగి ఉన్న ఉపసమితిని పొందగలిగితే [i, j] సెల్ నిజం అయిన మెట్రిక్ని సృష్టిస్తాము. లేకపోతే, అది అబద్ధం.

పునరావృత సూత్రం

dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-input[i]]

పునరావృత సూత్రం నుండి, ప్రస్తుత అడ్డు వరుస చివరి వరుసపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుందని మేము తెలుసుకుంటాము. కాబట్టి n మూలకాలకు n వరుసలకు బదులుగా రెండు వరుసలను మాత్రమే ఉంచడం ద్వారా మనం బయటపడవచ్చు. ఒక అడ్డు వరుస చివరి మూలకానికి వరుసగా, మరొకటి ప్రస్తుత మూలకానికి పనిచేస్తుంది. ఇది బాగా తెలిసిన DP ఆప్టిమైజేషన్.

కోడ్

O (sum) స్థలంలో సబ్‌సెట్ సమ్ ప్రాబ్లమ్ కోసం C ++ కోడ్

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool findSubset(int arr[], int n, int targetSum)
{
  // dp array to store if any sum is possible
  bool dp[2][targetSum + 1];

  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int j = 0; j <= targetSum; j++) {

      // subset with sum equal to zero is always possible
      // we don't choose any element
      if (j == 0)
        dp[i % 2][j] = true;
      // j != 0 and i ==0
      else if (i == 0)
        dp[i % 2][j] = false;
      // current element is greater than the current value of sum(j)
      // so take OR of two conditions
      // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
      // 2. We don't take the current element
      else if (arr[i - 1] <= j)
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j];
      // Here we cannot take the current element
      // So simply check is such a subset is possible
      else
        dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j];
    }
  }

  return dp[n % 2][targetSum];
}

int main(){
  // Number of elements
  int n;cin>>n;
  // array to store non-negative numbers
  int a[n];
  for(int i=0;i<n;i++)
    cin>>a[i];
  int targetSum;
  cin>>targetSum;
  bool can = findSubset(a, n, targetSum);
  if(can == true)
    cout<<"The subset having sum equal to given input is possible";
  else
    cout<<"None of the subsets have sum equal to given input";
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

O (sum) స్థలంలో సబ్‌సెట్ సమ్ ప్రాబ్లమ్ కోసం జావా కోడ్

import java.util.*;

class Main{
  
  static boolean findSubset(int arr[], int n, int targetSum) 
  { 
    // dp array to store if any sum is possible
    boolean dp[][] = new boolean[2][targetSum + 1];

    for (int i = 0; i <= n; i++) { 
      for (int j = 0; j <= targetSum; j++) { 

        // subset with sum equal to zero is always possibe
        // we don't choose any element
        if (j == 0) 
          dp[i % 2][j] = true; 
        // j != 0 and i ==0
        else if (i == 0) 
          dp[i % 2][j] = false;
        // current element is greater than the current value of sum(j)
        // so take OR of two conditions
        // 1. Take the current element check if we can get a subset having sum = j-arr[i-1]
        // 2. We don't take the current element
        else if (arr[i - 1] <= j) 
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j - arr[i - 1]] || dp[(i + 1) % 2][j]; 
        // Here we cannot take the current element
        // So simply check is such a subset is possible
        else
          dp[i % 2][j] = dp[(i + 1) % 2][j]; 
      } 
    }

    return dp[n % 2][targetSum]; 
  }
  
  public static void main(String[] args)
  {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    // Number of elements
    int n = sc.nextInt();
    // array to store non-negative numbers
    int a[] = new int[n];
    for(int i=0;i<n;i++)
      a[i] = sc.nextInt();
    int targetSum = sc.nextInt();
    boolean can = findSubset(a, n, targetSum);
    if(can == true)
      System.out.println("The subset having sum equal to given input is possible");
    else
      System.out.println("None of the subsets have sum equal to given input");
  }
}
4
1 2 3 4
6
The subset having sum equal to given input is possible

సంక్లిష్టత విశ్లేషణ

సమయం సంక్లిష్టత

ఓ (మొత్తం * ఎన్), ఎందుకంటే మేము అన్ని మూలకాలపై ప్రయాణించాము మరియు మొత్తం యొక్క ప్రతి విలువను 0 నుండి ఇచ్చిన ఇన్పుట్ మొత్తానికి తనిఖీ చేసాము అది సాధ్యమేనా కాదా? కాబట్టి సమయ సంక్లిష్టత బహుపది.

అంతరిక్ష సంక్లిష్టత

ఓ (మొత్తం), ఎందుకంటే మేము ప్రతి మూలకానికి అడ్డు వరుసలను ఉపయోగించలేదు. ప్రస్తుత మరియు చివరి మూలకం కోసం ఇంటర్మీడియట్ ఫలితాలను నిల్వ చేయడానికి మేము రెండు వరుసలను ఉపయోగించాము. అందువలన స్థల సంక్లిష్టత సరళంగా ఉంటుంది.